ケプラーの法則：楕円軌道と面積速度Kepler's Laws: Elliptical Orbits and Areal Velocity

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 楕円軌道を回る惑星の速さは、太陽に近いところと遠いところで違うと思いますか。違うなら、どちらで速いと思いますか。Do you think a planet on an elliptical orbit moves at different speeds when it is near the Sun and far from it? If so, where is it faster?💡 太陽から受ける万有引力の大きさは距離によってどう変わるでしょうか。How does the Sun's gravitational pull change with distance?
2. 半長径 a を変えずに楕円をつぶしていく(離心率 e を大きくする)と、公転周期は長くなる・短くなる・変わらない、のどれだと思いますか。If you keep the semi-major axis a the same but flatten the ellipse (increase the eccentricity e), do you think the period gets longer, shorter, or stays the same?💡 ケプラーの第3法則の式に、どの量が入っているかを確かめましょう。Check which quantities appear in Kepler's 3rd law.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(離心率 e = 0.50、半長径 a = 1.00 AU)で、太陽が楕円の「中心」(×)ではなく「太陽(焦点 F1)」の位置にあることを確認し、「離心率 e」を 0 → 0.80 と動かして、中心と太陽のずれ(焦点距離 c = ae)と「検算 a² − (b² + c²)」を見る。In the starting state (Eccentricity e = 0.50, Semi-major axis a = 1.00 AU), check that the Sun is not at the "Center" (×) but at "Sun (focus F1)". Move "Eccentricity e" from 0 to 0.80 and watch the offset between the center and the Sun (Focal distance c = ae) and "Check a² − (b² + c²)".
2. e = 0.80 のまま惑星を1周させ、等時間間隔で掃く扇形の形(近日点付近と遠日点付近)と、緑の速度ベクトル v の長さを比べる。数値欄の「近日点の速さ」「遠日点の速さ」を記録する。Keep e = 0.80 and let the planet go around once. Compare the shapes of the sectors swept in equal times near perihelion and near aphelion, and the length of the green velocity vector v. Record "Speed at perihelion" and "Speed at aphelion".
3. 「一時停止」と「再開」を使っていくつかの位置で止め、「r と v の角度」と「面積速度 ½·r·v·sinθ(一定)」の値を読む。Use "Pause" and "Resume" to stop at several points, and read "Angle between r and v" and "Areal velocity ½·r·v·sinθ (constant)".
4. 「半長径 a」を 1.00、2.00、4.00 AU に変えて「周期 T」を記録する。さらに a = 2.00 AU のまま e を 0.50 と 0.80 にして、周期が変わるか確かめる。Set "Semi-major axis a" to 1.00, 2.00, and 4.00 AU and record "Period T". Then, with a = 2.00 AU, set e to 0.50 and 0.80 and see whether the period changes.

3確かめようCheck

1. e = 0.80、a = 1.00 AU のとき、近日点と遠日点の速さはいくらでしたか。扇形の形はどう違いましたか。With e = 0.80 and a = 1.00 AU, what were the speeds at perihelion and aphelion? How did the sectors' shapes differ?→ 近日点は約 18.85 AU/年(約 89 km/s)、遠日点は約 2.09 AU/年(約 9.9 km/s)で、近日点が約9倍速い。近日点付近の扇形は半径が短く角度が大きい形、遠日点付近は細長い形だが、面積はどれも πab/12 ≈ 0.157 AU² で等しい。About 18.85 AU/yr (about 89 km/s) at perihelion and about 2.09 AU/yr (about 9.9 km/s) at aphelion, so perihelion is about 9 times faster. Near perihelion the sectors are short and wide; near aphelion they are long and narrow, but every sector has the same area, πab/12 ≈ 0.157 AU².
2. 惑星が動いている間、「面積速度 ½·r·v·sinθ」の値はどうでしたか。While the planet moved, what happened to the value of "Areal velocity ½·r·v·sinθ"?→ r、v、角度は刻々と変わるが、面積速度は一定(e = 0.80、a = 1.00 AU で 1.885 AU²/年)で、「検算 πab/T」と一致した。r, v, and the angle kept changing, but the areal velocity stayed constant (1.885 AU²/yr for e = 0.80, a = 1.00 AU) and matched "Check πab/T".
3. r と v の角度が 90° になるのはどこでしたか。Where was the angle between r and v equal to 90°?→ 楕円軌道では近日点と遠日点だけで 90° になり、それ以外の位置では 90° からずれていた(速度ベクトルはいつも軌道に接している)。e = 0 の円軌道では、いつも 90° だった。On an ellipse it was 90° only at perihelion and aphelion; elsewhere it differed from 90° (the velocity vector is always tangent to the orbit). On a circular orbit (e = 0) it was always 90°.
4. a = 1.00、2.00、4.00 AU で周期はいくらでしたか。a を固定して e を変えると周期は変わりましたか。What were the periods for a = 1.00, 2.00, and 4.00 AU? Did the period change when e changed with a fixed?→ 1.00 年、約 2.83 年、8.00 年で、T = a^(3/2)(T² = a³)になっていた。a = 2.00 AU のまま e を 0.50 から 0.80 にしても周期は 2.83 年のままで変わらなかった。1.00 yr, about 2.83 yr, and 8.00 yr, following T = a^(3/2) (T² = a³). With a = 2.00 AU, changing e from 0.50 to 0.80 left the period at 2.83 yr.

4考えようThink further

1. 面積速度が一定であることから、近日点で速く遠日点で遅くなる理由を説明しましょう。Using the fact that the areal velocity is constant, explain why the planet is fast at perihelion and slow at aphelion.→ 近日点・遠日点では r と v が垂直なので、面積速度は ½·r·v で一定。r が小さい近日点では v が大きく、r が大きい遠日点では v が小さくなる(v_近 × r_近 = v_遠 × r_遠)。e = 0.80 では r の比が 0.200 : 1.800 = 1 : 9 なので、速さの比は 9 : 1 になる。物理的には、面積速度が一定であることは角運動量保存を表している。At perihelion and aphelion r and v are perpendicular, so the areal velocity is ½·r·v, which is constant. Where r is small (perihelion) v must be large, and where r is large (aphelion) v must be small (v_peri × r_peri = v_aph × r_aph). For e = 0.80 the distance ratio is 0.200 : 1.800 = 1 : 9, so the speed ratio is 9 : 1. Physically, constant areal velocity expresses conservation of angular momentum.
2. 地球(a = 1 AU、周期1年)より太陽から遠い惑星の周期を、第3法則を使って見積もりましょう。たとえば a = 4 AU の惑星の周期は何年ですか。Use the 3rd law to estimate the period of a planet farther from the Sun than Earth (a = 1 AU, period 1 yr). For example, what is the period of a planet with a = 4 AU?→ T² = a³ より T = 4^(3/2) = 8 年。シミュレーションの a = 4.00 AU での周期 8.00 年と一致する。半長径が4倍になると周期は8倍になる。From T² = a³, T = 4^(3/2) = 8 years, matching the 8.00 yr shown for a = 4.00 AU. Making the semi-major axis 4 times larger makes the period 8 times longer.

よくある誤解Common misconceptions

• 「太陽は楕円の中心にある」という誤解。太陽は楕円の焦点の一つにあり、中心から c = ae だけずれている。The idea that the Sun is at the center of the ellipse. The Sun is at one focus, offset from the center by c = ae.
• 「惑星は軌道上を一定の速さ(一定の角速度)で回る」という誤解。楕円軌道では太陽に近いほど速く、一定なのは面積速度である。The idea that a planet moves around its orbit at a constant speed (or constant angular speed). On an ellipse it moves faster when closer to the Sun; what stays constant is the areal velocity.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)