定常波のできる様子 — 固定端反射と重ね合わせHow Standing Waves Form — Fixed-End Reflection and Superposition

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 右へ進む入射波と、固定端で反射して左へ進む反射波を足し合わせると、合成波は右か左へ進んでいくと思いますか。If you add a wave moving right (incident) and a wave moving left after reflecting at the fixed end (reflected), do you think the resultant wave will travel right, travel left, or do something else?💡 壁に固定された点は動けません。その点では2つの波の変位の和がいつもどうなっていなければならないでしょうか。The point fixed to the wall cannot move. What must the sum of the two waves' displacements always be at that point?
2. 弦の長さを変えずに振動数 f を少しずつ上げていくと、弦の揺れの大きさはどう変わると思いますか。If you slowly raise the frequency f without changing the string length, how do you think the size of the string's vibration will change?💡 両端で何度も反射した波どうしが、うまく山と山で重なる条件を考えてみましょう。Think about when waves that have bounced back and forth many times line up crest on crest.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(① 駆動端の振動数 f = 2.00 Hz、② 弦の長さ L = 1.00 m、③ 振幅 A = 0.60 cm)で、①入射波・②反射波・③合成波の3つの図が同時に動く様子を観察し、「一時停止」を押して「1コマ進める ▶」や「タイムバー t/T」で少しずつ時刻を進める。In the starting state (① Driver frequency f = 2.00 Hz, ② String length L = 1.00 m, ③ amplitude A = 0.60 cm), watch the three graphs (① incident, ② reflected, ③ resultant) move together. Press "Pause" and step through time with "Step forward ▶" or the "Time bar t/T".
2. ③合成波の図で、節(○)と腹(△)の位置、および「λ/2 = 0.500 m」の寸法線を確認し、数値欄の「節の間隔 λ/2」「節の数 / 腹の数」を記録する。In graph ③, find the nodes (○) and antinodes (△) and the "λ/2 = 0.500 m" dimension line, and record "Node spacing λ/2" and "Nodes / antinodes" from the readouts.
3. 「再生」を押してから、「① 駆動端の振動数 f」を 2.00 → 2.50 → 3.00 Hz と変え、「共振判定」の表示と「腹の振幅 2A′」を記録する。Press "Play", then change "① Driver frequency f" from 2.00 → 2.50 → 3.00 Hz, and record the "Resonance check" message and the "Antinode amplitude 2A′".
4. f = 2.00 Hz に戻して「② 固定端までの弦の長さ L」を 1.50 m にし、共振判定と「共振する f」の一覧がどう変わるか確かめる。Return f to 2.00 Hz, set "② String length to fixed end L" to 1.50 m, and see how the resonance check and the list of "Resonant f" values change.

3確かめようCheck

1. 固定端 x = L で、入射波と反射波の変位はどのような関係になっていましたか。At the fixed end x = L, how were the displacements of the incident and reflected waves related?→ いつも大きさが等しく符号が反対(上下が反転、位相が π ずれる)で、和は 0。そのため固定端は必ず節になる。They were always equal in size and opposite in sign (flipped, a phase shift of π), so their sum was 0. That is why the fixed end is always a node.
2. f = 2.00 Hz、L = 1.00 m のとき、節の間隔と節・腹の数はいくらでしたか。合成波の節は時間がたつと動きましたか。With f = 2.00 Hz and L = 1.00 m, what were the node spacing and the numbers of nodes and antinodes? Did the nodes of the resultant wave move over time?→ 波長 λ = v/f = 2.00/2.00 = 1.000 m で、節の間隔 λ/2 = 0.500 m。節は3個、腹は2個(n = 2)。節と腹の位置は動かず、その場で上下に振動するだけだった。The wavelength is λ = v/f = 2.00/2.00 = 1.000 m, so node spacing λ/2 = 0.500 m. There were 3 nodes and 2 antinodes (n = 2). The nodes and antinodes stayed in place; the string only vibrated up and down.
3. f = 2.00、2.50、3.00 Hz で、共振判定と腹の振幅 2A′ はどうなりましたか。At f = 2.00, 2.50, and 3.00 Hz, what were the resonance check and the antinode amplitude 2A′?→ 2.00 Hz(n = 2)と 3.00 Hz(n = 3)は「共振 ◎」で 2A′ = 3.00 cm。2.50 Hz は n = 2.50 で「非共振 ✕」となり 2A′ = 0.75 cm と小さかった。2.00 Hz (n = 2) and 3.00 Hz (n = 3) showed "Resonance ◎" with 2A′ = 3.00 cm. At 2.50 Hz, n = 2.50 gave "No resonance ✕" and 2A′ was only 0.75 cm.
4. L を 1.50 m にすると、共振する振動数はどう変わりましたか。When L was set to 1.50 m, how did the resonant frequencies change?→ f = n·v/(2L) より 0.67、1.33、2.00、2.67 Hz … と間隔が狭くなった。f = 2.00 Hz でも n = 3 になり共振し、節は4個、腹は3個になった。From f = n·v/(2L) they became 0.67, 1.33, 2.00, 2.67 Hz, …, closer together. At f = 2.00 Hz, n = 3, so it still resonated, now with 4 nodes and 3 antinodes.

4考えようThink further

1. 共振する条件が L = n·λ/2 になるのはなぜですか。Why is the resonance condition L = n·λ/2?→ この弦は両端がどちらも節になる(駆動端もほぼ動かない点とみなせる)。節と節の間隔は λ/2 なので、弦の長さが λ/2 の整数倍のときだけ両端に節がそろう。このとき何度も往復した波の位相がそろって強め合い、振幅が大きくなる。Both ends of this string are nodes (the driver end is treated as almost not moving). Nodes are λ/2 apart, so both ends can be nodes only when the length is a whole number of half wavelengths. Then the waves that travel back and forth many times are in phase and reinforce each other, giving a large amplitude.
2. もし右端が固定端ではなく自由端だったら、右端は節・腹のどちらになると考えられますか。If the right end were a free end instead of a fixed end, would it be a node or an antinode?→ 自由端では反射波の上下が反転しないので、端で入射波と反射波が同じ向きに重なり、腹になる(解説欄にもこの違いが書かれている。シミュレーションで操作できるのは固定端のみ)。At a free end the reflected wave is not flipped, so the two waves add in the same direction at the end, making it an antinode (the explanation panel notes this; the simulation itself only has a fixed end).

よくある誤解Common misconceptions

• 「定常波も普通の波のように右か左へ進んでいく」という誤解。定常波では節と腹の位置が固定され、エネルギーを運ぶ向きを持つ進行波には見えない。The idea that a standing wave travels left or right like an ordinary wave. In a standing wave the nodes and antinodes stay fixed, and it does not look like a wave moving in one direction.
• 「反射波は入射波と同じ形のまま戻ってくる」という誤解。固定端では変位の上下が反転(位相が π ずれる)して反射する。The idea that a reflected wave comes back with the same shape. At a fixed end the displacement is flipped (phase shift of π) on reflection.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)