ファラデー波 — パラメータ励振の計測台Faraday Waves — Parametric Excitation Lab

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 水面の固有振動数が 0.76 Hz の水槽を上下に揺すって水面を大きく揺らしたいとき、何 Hz で揺するのがよいと思いますか。そのとき水面は何 Hz で揺れると思いますか。You want to make the water slosh strongly in a tank whose surface has a natural frequency of 0.76 Hz by shaking the tank up and down. At what frequency should you shake it, and at what frequency do you think the surface will slosh?💡 ブランコの立ちこぎでは、1往復の間に何回しゃがんだり立ったりするでしょうか。When you pump a swing standing up, how many times do you squat and stand during one full back-and-forth swing?
2. 水の粘り(減衰)を大きくしたら、同じ揺すり方でも水面の揺れは育つと思いますか。If the damping of the water is made larger, do you think the sloshing will still grow with the same shaking?💡 揺れが育つかどうかは、1回の揺れで注ぎ込まれるエネルギーと失われるエネルギーのどちらが大きいかで決まります。Whether the sloshing grows depends on which is larger: the energy pumped in each cycle or the energy lost.

2動かしてみようTry it

1. 「速度」を ×4 にし、「f_d=2f₀ に合わせる」を押してから「リセット」を押す(加振振幅 h = 25.0 mm、粘性減衰 γ = 0.050 s⁻¹)。計測パネルの「状態」「包絡 |A|」「理論成長率 σ」「実測成長率」と、log 包絡グラフの線の形を記録する。Set "Speed" to ×4, press "Set f_d = 2f₀" and then "Reset" (Drive amplitude h = 25.0 mm, Viscous damping γ = 0.050 s⁻¹). Record "State", "Envelope |A|", "Theory growth rate σ" and "Measured growth rate" in the Measurements panel, and the shape of the line in the log envelope graph.
2. そのまま待ち、包絡が大きくなったあとの「状態」と「包絡 |A|」を記録する。時間グラフで橙(台の変位 z(t))と青(A(t))の山の数を比べ、「水面の実測周波数」と「f_d/2」「f₀ (固定)」を比べる。Keep waiting and record "State" and "Envelope |A|" after the envelope has grown. In the time graph, compare the number of peaks of the orange line (platform z(t)) and the blue line (A(t)), and compare "Measured surface freq." with "f_d/2" and "f₀ (fixed)".
3. 「+0.01f₀」を 10 回押して f_d = 2.100 f₀ にし「リセット」、次にさらに 10 回押して 2.200 f₀ にし「リセット」して、「状態」と緑帯(増幅する範囲)とオレンジの線の位置を比べる。Press "+0.01f₀" 10 times to reach f_d = 2.100 f₀ and press "Reset"; then press it 10 more times to reach 2.200 f₀ and press "Reset". Compare "State" and the positions of the green band (growth range) and the orange marker.
4. 「f_d=2f₀ に合わせる」に戻し、「粘性減衰 γ」を 0.300 s⁻¹ にして「リセット」。「しきい値 h_th」の値と「状態」を記録し、次に「加振振幅 h」を 35.0 mm に上げて「リセット」して結果を比べる。Press "Set f_d = 2f₀" again, set "Viscous damping γ" to 0.300 s⁻¹ and press "Reset". Record "Threshold h_th" and "State", then raise "Drive amplitude h" to 35.0 mm, press "Reset" and compare.
5. 「粘性減衰 γ」を 0.050 s⁻¹ に戻して「加振振幅 h」を 3.0 mm にし、しきい値 h_th = 4.5 mm より小さい加振では揺れが育たないことを確かめる。Return "Viscous damping γ" to 0.050 s⁻¹, set "Drive amplitude h" to 3.0 mm, and confirm that the sloshing does not grow when the shaking is smaller than the threshold h_th = 4.5 mm.

3確かめようCheck

1. f_d = 2f₀ (1.520 Hz)、h = 25 mm、γ = 0.05 s⁻¹ のとき、水面の揺れはどう変化しましたか。With f_d = 2f₀ (1.520 Hz), h = 25 mm and γ = 0.05 s⁻¹, how did the sloshing change?→ 「増幅中」となり、log 包絡グラフが直線的に上がった(指数的成長)。実測成長率は約 +0.22 s⁻¹ で理論成長率 σ = +0.227 s⁻¹ とほぼ一致した。やがて成長が止まり「飽和(定常波)」となって、包絡 |A| は約 4.2 cm で落ち着いた。It showed "Growing" and the log envelope graph rose in a straight line (exponential growth). The measured growth rate was about +0.22 s⁻¹, close to the theory value σ = +0.227 s⁻¹. Eventually growth stopped, the state became "Saturated (standing wave)", and the envelope |A| settled at about 4.2 cm.
2. 水面は何 Hz で揺れていましたか。台の揺れと比べるとどうでしたか。At what frequency did the surface slosh, and how did that compare with the platform's shaking?→ 水面の実測周波数は 0.760 Hz で、f_d/2 = 0.760 Hz、f₀ = 0.760 Hz と一致した。時間グラフでは青い水面の1往復の間に橙の台が2往復しており、水面は駆動の半分の周波数(亜調波)で揺れている。The measured surface frequency was 0.760 Hz, matching f_d/2 = 0.760 Hz and f₀ = 0.760 Hz. In the time graph, the orange platform goes up and down twice for every one blue surface oscillation, so the surface sloshes at half the drive frequency (a subharmonic).
3. f_d を 2.100 f₀、2.200 f₀ にずらすとどうなりましたか。What happened when f_d was shifted to 2.100 f₀ and 2.200 f₀?→ 2.100 f₀ ではまだ緑帯の中で「増幅中」だったが、しきい値 h_th は 20.5 mm に上がり成長率も約 +0.1 s⁻¹ に下がった。2.200 f₀ では緑帯の外に出て「減衰中」になり、揺れは育たなかった。増幅するのは 2f₀ のまわりの狭い範囲(h = 25 mm で約 1.9〜2.1 f₀)だけである。At 2.100 f₀ it was still inside the green band and "Growing", but the threshold h_th rose to 20.5 mm and the growth rate fell to about +0.1 s⁻¹. At 2.200 f₀ it was outside the green band and "Decaying", so nothing grew. Growth happens only in a narrow range around 2f₀ (about 1.9 to 2.1 f₀ for h = 25 mm).
4. 減衰 γ を 0.300 s⁻¹ にすると、しきい値と結果はどう変わりましたか。How did the threshold and the result change when the damping γ was set to 0.300 s⁻¹?→ しきい値 h_th は 4.5 mm から 27.0 mm に上がり(γ を6倍にすると6倍)、h = 25 mm では揺れが育たなかった。h = 35 mm にするとしきい値を超えて再び「増幅中」になった(成長率 約 +0.08 s⁻¹)。The threshold h_th rose from 4.5 mm to 27.0 mm (six times larger γ gives six times larger threshold), so at h = 25 mm the sloshing did not grow. With h = 35 mm it exceeded the threshold and showed "Growing" again (growth rate about +0.08 s⁻¹).

4考えようThink further

1. なぜ台を揺する周波数の半分の周波数で水面が揺れるのでしょうか。Why does the surface slosh at half the frequency at which the platform is shaken?→ 台が上向きに加速すると水が感じる重力 g_eff は強くなり、下向きに加速すると弱くなる。水面が盛り上がっている瞬間に g_eff を強くし、平らに戻るときに弱くすると、毎回エネルギーが注ぎ込まれる。盛り上がりは水面の1往復の間に左右で2回あるので、重力の強弱は水面の2倍の周波数でくり返すのがちょうどよく、水面は f_d/2 で揺れる。When the platform accelerates upward the water feels stronger gravity g_eff, and when it accelerates downward it feels weaker gravity. Making g_eff stronger while the surface is heaped up and weaker while it flattens pumps in energy every time. The surface heaps up twice in each full slosh (once on each side), so the gravity should rise and fall at twice the surface frequency, and the surface sloshes at f_d/2.
2. このパラメータ励振は、ふつうの共振(外から周期的に押す強制振動)とどこが違うでしょうか。How is this parametric excitation different from ordinary resonance (forced oscillation by a periodic push)?→ 強制振動では駆動と同じ周波数で揺れ、揺れがはじめ0でも押せば揺れ始める。パラメータ励振は復元力の強さを変えるだけなので、もともと揺れがないと何も起こらず、小さな揺れがあるとその大きさに比例して増える(指数的成長)。また、増幅のしかたが減衰を上回るしきい値があり、駆動の半分の周波数で揺れる点も違う。In forced oscillation the system moves at the drive frequency and starts moving even from rest because it is pushed. Parametric excitation only changes the strength of the restoring force, so nothing happens without some initial motion, and a small motion grows in proportion to its size (exponential growth). It also has a threshold where the gain beats the damping, and the motion is at half the drive frequency.

よくある誤解Common misconceptions

• 「揺れを大きくするには水面の固有振動数と同じ周波数で揺すればよい」という誤解。上下に揺するパラメータ励振では、固有振動数の約2倍で揺すったときに強く成長し、水面はその半分の周波数で揺れる。"To make it slosh strongly, shake at the same frequency as the surface's natural frequency." With vertical shaking (parametric excitation), strong growth happens when shaking at about twice the natural frequency, and the surface moves at half that frequency.
• 「周波数さえ合っていれば、どんなに小さく揺すっても揺れは育つ」という誤解。減衰による損失を上回るしきい値(h_th = γg/ω₀³)以上の加振振幅が必要で、しきい値は減衰 γ に比例する。"If the frequency is right, any shaking, however small, will make it grow." The drive amplitude must exceed a threshold (h_th = γg/ω₀³) that beats the damping loss, and that threshold is proportional to the damping γ.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)