操作
加振周波数 f_d
加振振幅 h
粘性減衰 γ
計測パネル
0.25
f₀
1.5
横軸: (f_d/2)/f₀。白線=f₀、橙=f_d/2、緑帯=現在の h, γ で増幅する範囲(線形理論)。
状態—
現在の A—
包絡 |A|—
水面の実測周波数—
f_d/2—
f₀ (固定)—
変調度 ε=hω_d²/g—
しきい値 h_th—
理論成長率 σ—
実測成長率—
モデル: L=1 m, 水深 0.3 m, f₀=0.76 Hz。A″+2γ_eff·A′+ω₀²[1+ε·cos(ω_d t)]A=0 を固定 dt=1 ms の RK4 で積分(cos 項はそのまま)。γ_eff=γ(1+(A/A_max)²), A_max=1 cm。台の変位は上向き正で z=−h·cos(ω_d t) とした(このとき g_eff=g+z″=g[1+ε·cos(ω_d t)] となり式の符号と一致)。パラメータ変更時に包絡が 1 mm 未満なら 1 mm の微小擾乱を与える。
なぜ半分の周波数で揺れるのか
台を上下に揺すると水が感じる重力 g_eff が周期的に強弱し、水面を平らに戻そうとする復元力の「強さ(パラメータ)」そのものが変調されます。水面が盛り上がっている瞬間に g_eff が増し、平らに戻る瞬間に弱まるという関係は水面の1往復に2回ずつ起こるので、駆動周波数 f_d がちょうど 2f₀ のとき毎回エネルギーが注ぎ込まれ、水面は f_d/2 = f₀ で指数的に成長します。
これはブランコで両端でしゃがみ最下点で立ち上がる(1往復に2回重心を上下させる)漕ぎ方と同じパラメータ励振で、ブランコは紐の実効長、ファラデー波は重力を変調します。外力で押す強制振動とは違い、変調による利得 εω₀/4 が減衰 γ を上回るときだけ成長するため、しきい値 h_th = γg/ω₀³(f_d=2f₀ のとき)は γ に比例し、2f₀ のまわりの狭い帯域(緑帯)から外れた周波数では成長しません。