逆立ち振り子とカピッツァ効果Inverted Pendulum and the Kapitza Effect

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 棒の上におもりがついた逆立ちの振り子を、支点を動かさずに 10° 傾けて放すとどうなると思いますか。では、支点を1秒に28回、上下に2cmほど振り続けたらどうなると思いますか。If an upside-down pendulum (a weight on top of a rod) is tilted 10° and released with the pivot held still, what do you think happens? What if the pivot is shaken up and down by about 2 cm, 28 times per second?💡 支点を上下に振ると、棒には重力のほかに、支点の加速度による見かけの力が上下に入れかわりながらはたらきます。その効果は平均すると0になるでしょうか。When the pivot shakes, the rod feels, besides gravity, an apparent force from the pivot's acceleration that keeps flipping up and down. Does its effect really average out to zero?
2. 振動数を同じにして支点の振幅 A だけを半分にしたら、逆立ちを保ちやすくなると思いますか、保ちにくくなると思いますか。If the frequency is kept the same and only the pivot amplitude A is halved, do you think it becomes easier or harder to keep the pendulum upright?💡 画面の (A·ω)² のバーは、A を半分にすると何倍になるでしょうか。If A is halved, by what factor does the (A·ω)² bar on the screen change?

2動かしてみようTry it

1. 「A=0」ボタンを押し(初期傾き θ0 = 10°)、支点が動かないとき振り子がどうなるかを見る。右上の「状態」表示と「理由」の文を読む。Press the "A=0" button (Start tilt θ0 = 10°) and watch what the pendulum does when the pivot does not move. Read the "Status" line and the "Why" text at the upper right.
2. 「20mm·28Hz」ボタンを押し、加振器が支点を上下に振るようすと、振り子が数秒後にどうなるかを観察する。左上の θ の値と、θ(t) の小さなグラフ、(A·ω)² と 2gL のバーの長さを記録する。Press the "20mm·28Hz" button and watch the shaker move the pivot up and down and what the pendulum does after a few seconds. Record the θ value at the upper left, the small θ(t) graph, and the lengths of the (A·ω)² and 2gL bars.
3. 「10mm·28Hz」ボタンを押し、振幅を半分にしたときの結果と (A·ω)² の値を「20mm·28Hz」のときと比べる。Press the "10mm·28Hz" button and compare the result and the (A·ω)² value with half the amplitude against the "20mm·28Hz" case.
4. 「支点振幅 A」を 14 mm、「振動数 f」を 28.0 Hz にし、「初期傾き θ0」を 10° にして結果を見る。次に「初期傾き θ0」を 20° にして結果を比べ、表示される「戻れる角度の目安 θc」と比べる。Set "Pivot amplitude A" to 14 mm and "Frequency f" to 28.0 Hz, set "Start tilt θ0" to 10° and watch the result. Then set "Start tilt θ0" to 20°, compare the results, and compare them with the displayed "max recoverable angle θc".
5. 「支点振幅 A」を 20 mm にしたまま「振動数 f」を 15.0 Hz に下げ、「リセット」を押して結果を確かめる(A や f を変えたあとは「リセット」で最初からやり直す)。Keep "Pivot amplitude A" at 20 mm, lower "Frequency f" to 15.0 Hz, and press "Reset" to see the result (after changing A or f, press "Reset" to start over).

3確かめようCheck

1. 支点を振らない(A=0)とき、振り子はどうなりましたか。What happened to the pendulum when the pivot was not shaken (A=0)?→ 1秒もたたずに傾きが大きくなって倒れ、「状態：倒れた」になった。(A·ω)² = 0.00 で 2gL = 5.88 より小さく、重力だけがはたらくので小さな傾きでも増えていく。Within about a second the tilt grew and it fell over, showing "Status: fallen". (A·ω)² = 0.00 is less than 2gL = 5.88; only gravity acts, so even a small tilt keeps growing.
2. 「20mm·28Hz」と「10mm·28Hz」では結果と (A·ω)² の値はどう違いましたか。How did the results and the (A·ω)² values differ between "20mm·28Hz" and "10mm·28Hz"?→ 20mm·28Hz では (A·ω)² = 12.38 > 5.88 で、振り子は小さく揺れながら真上(5秒後に θ ≈ 1°)に戻り、立ち続けた。10mm·28Hz では (A·ω)² = 3.10 < 5.88 で倒れた。振幅を半分にすると (A·ω)² は4分の1になる。At 20mm·28Hz, (A·ω)² = 12.38 > 5.88; the pendulum wobbled slightly and returned to vertical (θ ≈ 1° after 5 s) and stayed up. At 10mm·28Hz, (A·ω)² = 3.10 < 5.88 and it fell. Halving the amplitude makes (A·ω)² one quarter as large.
3. A = 14 mm、f = 28 Hz のとき、初期傾き 10° と 20° で結果はどうなりましたか。With A = 14 mm and f = 28 Hz, what happened with start tilts of 10° and 20°?→ (A·ω)² = 6.07 で 2gL = 5.88 をわずかに上回り、θc ≈ 14° と表示された。10° では立ち続けたが、20° では θc を超えているため倒れた。条件ぎりぎりでは最初の傾きの大きさで結果が変わる。(A·ω)² = 6.07, just above 2gL = 5.88, and θc ≈ 14° was shown. At 10° it stayed up, but at 20°, which is beyond θc, it fell. Near the threshold, the result depends on how large the starting tilt is.
4. A = 20 mm のまま振動数を 15 Hz に下げるとどうなりましたか。What happened when the frequency was lowered to 15 Hz with A still at 20 mm?→ (A·ω)² = 3.55 で 2gL より小さくなり、倒れた。振幅が同じでも、振る速さ(ω = 2πf)が足りないと安定しない。(A·ω)² = 3.55, less than 2gL, and it fell. Even with the same amplitude, it is not stable if the shaking is not fast enough (ω = 2πf).

4考えようThink further

1. 支点の上下の振動は上向きと下向きが同じだけなのに、平均すると振り子を真上に戻すはたらきが残るのはなぜでしょうか。The pivot moves up and down equally, so why is there still an average effect that pushes the pendulum back to vertical?→ 振動による見かけの力が棒を倒す向きにも戻す向きにもはたらくが、その大きさは傾き θ によって変わり、振り子は速い振動に合わせて細かく揺れる。棒がより傾いた瞬間に戻す向きの力が強くはたらくという「ずれ」があるので、1周期で平均すると真上に戻そうとする効果が残る。その強さは支点の速さ A·ω の2乗に比例し、(A·ω)² が重力の効果 2gL を上回ると安定になる。The apparent force from shaking acts both to tip the rod and to restore it, but its size depends on the tilt θ, and the pendulum jiggles in step with the fast vibration. Because the restoring push happens to act when the rod is tilted more, averaging over one cycle leaves a net effect that pulls it back to vertical. Its strength grows with the square of the pivot speed A·ω, and when (A·ω)² exceeds the gravity effect 2gL, the upright position becomes stable.
2. 同じ「支点や長さを周期的に変えて揺れを変える」しくみは、ブランコを立ちこぎする動きとどう関係しているでしょうか。How is this idea of changing something periodically (the pivot or the length) to change the swing related to pumping a swing while standing?→ どちらも振り子のパラメータ(支点の位置や重心までの長さ)を周期的に変えるパラメータ励振である。ブランコでは揺れの2倍の振動数で立ったりしゃがんだりして揺れを大きくし、カピッツァ振り子では揺れよりずっと速く支点を振ることで逆に倒立を安定させる。変える速さによって、揺れを育てることも抑えることもできる。Both are parametric excitation: a parameter of the pendulum (pivot position or the distance to the center of mass) is changed periodically. On a swing you stand and squat at twice the swing frequency to make it grow; in the Kapitza pendulum the pivot is shaken much faster than the swing, which instead stabilizes the upright position. Depending on how fast the parameter changes, it can either build up or hold down the motion.

よくある誤解Common misconceptions

• 「上下に同じだけ振るのだから、振動の効果は平均すると打ち消し合って何もしない」という誤解。速い振動は平均しても0にならない復元の効果を生み、条件 (A·ω)² > 2gL を満たせば逆立ちを安定させる。"Shaking up and down equally must cancel out on average and do nothing." Fast vibration produces a restoring effect that does not average to zero, and when (A·ω)² > 2gL it stabilizes the upright position.
• 「条件を満たせばどんな傾きからでも立て直せる」という誤解。条件ぎりぎりでは戻れる角度 θc が小さく、それより大きく傾けて始めると倒れる。"If the condition is met, it can recover from any tilt." Near the threshold the max recoverable angle θc is small, and if it starts tilted more than that, it falls.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)