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授業ガイド・ワークシートLESSON GUIDE · WORKSHEET

調和振動子中のガウス波束Gaussian Wave Packet in a Harmonic Oscillator

大学・発展 · 物理単元: 量子力学（井戸型ポテンシャルと波束）Gaussian Wave Packet in a Harmonic Oscillator 目安 20分about 20 min
ねらいGoal：調和振動子ポテンシャル中のガウス波束は、中心が古典軌道 q(t) = x0·cos t + p0·sin t に沿って周期 2π で往復し、幅は σ0 = 1/√2 のときだけ一定(コヒーレント状態)で、それ以外では周期 π で「呼吸」することを、確率の保存やエネルギー分配とあわせて理解する。Students understand that a Gaussian wave packet in a harmonic-oscillator potential moves with its center on the classical orbit q(t) = x0 cos t + p0 sin t with period 2π, that its width stays constant only when σ0 = 1/√2 (a coherent state) and otherwise "breathes" with period π, together with conservation of probability and the exchange of kinetic and potential energy.
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1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

  1. x0 = 1.5、p0 = 0 から放した波束の中心は、ばねにつながれた古典的な質点と比べてどのように動くと思いますか。If a wave packet starts at x0 = 1.5 with p0 = 0, how do you think its center will move compared with a classical mass on a spring?💡 エーレンフェストの定理によると、⟨x⟩ と ⟨p⟩ はどんな方程式に従うでしょうか。V(x) = ½x² の力は x に比例することに注目しましょう。By Ehrenfest's theorem, what equations do ⟨x⟩ and ⟨p⟩ obey? Note that the force from V(x) = ½x² is proportional to x.
  2. 最初の幅 σ0 を大きく(1.5)したり小さく(0.4)したりすると、波束の幅は時間とともにどう変わると思いますか。ずっと広がり続けるでしょうか。If you make the initial width σ0 large (1.5) or small (0.4), how do you think the packet's width will change over time? Will it keep spreading forever?💡 自由粒子の波束と違い、ここではポテンシャルが位置と運動量の役割を周期的に入れ替えます。不確定性関係 σx·σp ≥ 1/2 も思い出しましょう。Unlike a free particle, here the potential periodically swaps the roles of position and momentum. Also recall the uncertainty relation σx·σp ≥ 1/2.

2動かしてみようTry it

  1. 初期状態(x0 = 1.50、p0 = 0.00、σ0 = 0.71)のまま再生し、青い |ψ(x,t)|² の山と赤い「古典質点」が一緒に左右へ往復する様子と、HUD の q(t) と 〈p〉 の値を観察する。必要なら「一時停止」で止め、「最初に戻る」で t = 0 に戻す。Keep the starting state (x0 = 1.50, p0 = 0.00, σ0 = 0.71) and let it play. Watch the blue |ψ(x,t)|² peak and the red "Classical particle" move back and forth together, and read q(t) and 〈p〉 in the readout. Use "Pause" to freeze and "Reset" to return to t = 0.
  2. 同じ状態で HUD の σ(t) と右上の小グラフ「σ(t), t:0→2π」を見て、幅がほぼ 0.707 で一定であること、および ∫|ψ|²dx が常に 1.0000 であることを確認する。In the same state, look at σ(t) in the readout and the small inset "σ(t), t:0→2π" at the upper right: check that the width stays at about 0.707, and that ∫|ψ|²dx is always 1.0000.
  3. σ0 スライダーを 1.50 にして「最初に戻る」を押し、σ(t) が t = 0 の 1.50 から t ≈ π/2 で約 0.33 まで縮み、t ≈ π で再び 1.50 に戻る様子を記録する。次に σ0 = 0.40 で同じことを行う。Set the σ0 slider to 1.50 and press "Reset". Record how σ(t) shrinks from 1.50 at t = 0 to about 0.33 near t ≈ π/2 and returns to 1.50 near t ≈ π. Then repeat with σ0 = 0.40.
  4. 画面下のエネルギーバー(緑の「運動〈T〉」と橙の「ポテンシャル〈V〉」)を見ながら、波束が端にあるときと中央を通過するときの値を比べ、合計〈T〉+〈V〉と黄色い破線「全エネルギー E」の値が一致することを確かめる。Watch the energy bar at the bottom (green "Kinetic〈T〉" and orange "Potential〈V〉"). Compare the values when the packet is at a turning point and when it passes the center, and check that the sum 〈T〉+〈V〉 equals the yellow dashed "Total energy E" line.
  5. σ0 = 0.71 に戻し、x0 = 0.00、p0 = 2.00 にして「最初に戻る」を押し、初速を与えた波束が x = 0 から右へ動き出すこと、E が 2.500 になることを確認する。Set σ0 back to 0.71, then set x0 = 0.00 and p0 = 2.00 and press "Reset". Check that the packet now starts at x = 0 moving to the right and that E becomes 2.500.

3確かめようCheck

  1. 波束の中心と古典質点の位置は、時間とともにどうなりましたか。1往復にかかる時間はいくらでしたか。How did the packet's center and the classical particle's position compare over time? How long did one round trip take?→ いつも重なって動いた。x0 = 1.5、p0 = 0 では t ≈ 1.6 で q ≈ 0(〈p〉≈ −1.5)、t ≈ 3.2(≈ π)で q ≈ −1.5 となり、t = 2π ≈ 6.28 で元に戻る。周期は 2π(ω = 1)で、σ0 を変えても変わらない。They always moved together. With x0 = 1.5 and p0 = 0, q ≈ 0 at t ≈ 1.6 (〈p〉 ≈ −1.5), q ≈ −1.5 at t ≈ 3.2 (≈ π), and it returns at t = 2π ≈ 6.28. The period is 2π (ω = 1) and does not depend on σ0.
  2. σ0 = 0.71、1.50、0.40 のそれぞれで、σ(t) はどう変化しましたか。How did σ(t) behave for σ0 = 0.71, 1.50, and 0.40?→ σ0 = 0.71 ではほぼ 0.704〜0.710 で一定(「幅一定のコヒーレント状態」と表示)。σ0 = 1.50 では 1.50 → 約 0.33 → 1.50、σ0 = 0.40 では 0.40 → 約 1.25 → 0.40 と変化し、どちらも周期 π(往復運動の半分)で呼吸した。最小値と最大値は σ0 と 1/(2σ0) になっている。For σ0 = 0.71 it stayed nearly constant at 0.704 to 0.710 (labeled "coherent state, constant width"). For σ0 = 1.50 it went 1.50 → about 0.33 → 1.50, and for σ0 = 0.40 it went 0.40 → about 1.25 → 0.40; both breathe with period π (half the oscillation period). The minimum and maximum are σ0 and 1/(2σ0).
  3. 幅が変わっているとき、∫|ψ|²dx の値はどうなっていましたか。While the width was changing, what was the value of ∫|ψ|²dx?→ どの設定・どの時刻でも 1.0000 のままだった。幅が広がると山は低く、狭まると高くなり、面積(粒子をどこかに見つける確率の合計)は保存される。It stayed at 1.0000 for every setting and every time. When the packet widens its peak gets lower, and when it narrows the peak gets taller, so the area (the total probability of finding the particle somewhere) is conserved.
  4. x0 = 1.5、p0 = 0、σ0 = 0.71 で、波束が端にあるときと中央を通るときのエネルギーバーはどうなりましたか。With x0 = 1.5, p0 = 0, σ0 = 0.71, what did the energy bar show when the packet was at a turning point and when it passed the center?→ 端(t = 0)では〈T〉≈ 0.25、〈V〉≈ 1.38 とほとんどがポテンシャルエネルギー、中央(t ≈ π/2)では〈T〉≈ 1.37、〈V〉≈ 0.25 とほとんどが運動エネルギーになった。合計は常に E = 1.625 で一定。運動エネルギーが 0 にならないのは、波束に運動量のばらつきがあるため。At the turning point (t = 0), 〈T〉 ≈ 0.25 and 〈V〉 ≈ 1.38, so it is mostly potential energy; at the center (t ≈ π/2), 〈T〉 ≈ 1.37 and 〈V〉 ≈ 0.25, so it is mostly kinetic. The sum is always E = 1.625. The kinetic energy never reaches 0 because the packet has a spread in momentum.

4考えようThink further

  1. x0 = 1.5、p0 = 0、σ0 = 0.71 のとき E = 1.625 で、古典的な値 ½x0² = 1.125 より 0.5 大きくなります。この差は何を表していますか。With x0 = 1.5, p0 = 0, σ0 = 0.71, E = 1.625, which is 0.5 larger than the classical value ½x0² = 1.125. What does this difference represent?→ 波束の位置と運動量のばらつきによるエネルギー σ0²/2 + 1/(8σ0²) で、σ0 = 1/√2 のとき最小値 0.5 = ħω/2(零点エネルギー)になる。コヒーレント状態は不確定性関係 σx·σp = 1/2 を満たす最小不確定状態なので、余分なエネルギーが最も小さい。σ0 = 1.5 や 0.4 では E = 2.306、1.986 と、この余分が大きくなる。It is the energy from the spread in position and momentum, σ0²/2 + 1/(8σ0²), which takes its minimum value 0.5 = ħω/2 (the zero-point energy) at σ0 = 1/√2. The coherent state is a minimum-uncertainty state with σx·σp = 1/2, so this extra energy is as small as possible. With σ0 = 1.5 or 0.4 the extra energy is larger: E = 2.306 and 1.986.
  2. 幅の「呼吸」の周期が往復運動の周期 2π ではなく π になるのはなぜでしょうか。Why is the breathing period π instead of the oscillation period 2π?→ 調和振動子では 1/4 周期ごとに位置と運動量の分布が入れ替わる(σx が σp/ω の形になる)。σ(t)² = σ0²cos²t + (1/2σ0)²sin²t は cos²t と sin²t だけで書けるので周期 π で元に戻る。波束が右端にいても左端にいても幅は σ0 で、中央を通るときに幅 1/(2σ0) になる。In a harmonic oscillator the position and momentum distributions swap every quarter period. Since σ(t)² = σ0² cos²t + (1/2σ0)² sin²t contains only cos²t and sin²t, it repeats with period π: the width is σ0 at both the right and left turning points, and 1/(2σ0) when the packet passes the center.

よくある誤解Common misconceptions

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)

ガウス波束Gaussian wave packet調和振動子harmonic oscillatorコヒーレント状態coherent stateスクイーズド状態(幅の呼吸)squeezed state (breathing width)エーレンフェストの定理Ehrenfest's theorem零点エネルギーzero-point energy

先生へFor teachers

自然単位 ħ = m = ω = 1 で、時間発展は解析解をそのまま描いており、アニメーションの t は実時間 1 秒で 1 進む。画面の σ0 は |ψ|² の標準偏差なので、幅一定になるのは σ0 = 1/√2 ≈ 0.71(画面の注にも記載。σ0 = 1 ではわずかに呼吸する)。表示されるのは |ψ|² だけで、波動関数の位相は見えない点に注意する。The model uses natural units ħ = m = ω = 1 and draws the exact analytic solution; t advances by 1 per second of real time. σ0 on screen is the standard deviation of |ψ|², so the constant-width case is σ0 = 1/√2 ≈ 0.71 (as stated in the on-screen note; at σ0 = 1 the packet breathes slightly). Only |ψ|² is shown, so the phase of the wave function is not visible.