ミューオンの地表到達 ― 時間の遅れとローレンツ収縮Muons Reaching the Ground: Time Dilation and Length Contraction

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 寿命 2.2 µs のミューオンが光速近くで飛んでも、相対論を考えなければ 2.2 µs の間に約 0.66 km しか進めません。高さ 10 km で生まれたミューオンのうち、地表に届くのはどのくらいの割合だと思いますか。Without relativity, a muon with a lifetime of 2.2 µs moving near the speed of light travels only about 0.66 km in 2.2 µs. What fraction of muons created at a height of 10 km do you think will reach the ground?💡 地表までの飛行時間は約 33 µs で、これは寿命の何倍になるか考えてみましょう。実際には地表で多くのミューオンが観測されています。The flight time to the ground is about 33 µs. How many lifetimes is that? In reality, many muons are detected at the ground.
2. ミューオンと一緒に動く立場(ミューオン系)では、ミューオンの時計は普通に進みます。それでも地表に届くとしたら、何が変わって見えるはずでしょうか。From the point of view moving with the muon (the muon frame), the muon's own clock runs normally. If it still reaches the ground, what must look different in that frame?💡 ミューオン系では、動いているのは大気と地面の方です。In the muon frame, it is the atmosphere and the ground that are moving.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「速度 β = v/c」= 0.9980、「生成高度 h」= 10.0 km)でアニメーションを最後まで見て、パネルA(地面系)の「地上 t」と「µ時計 τ」、パネルB(ミューオン系)の「µ時計τ 正常」の値、右の「生存数」を記録する。In the starting state ("Speed β = v/c" = 0.9980, "Creation height h" = 10.0 km), watch the animation to the end. Record "Ground t" and the "µ clock τ" in panel A (Ground frame), the "µ clock τ" in panel B (Muon frame), and the "Surviving" count on the right.
2. 数値パネルの γ、γτ0、h/γ、「地面系 t = h/v」と「µ系 t' = h/(γv)」を読み、「地表到達率(2通りの独立計算)」の (a) 地面系 と (b) ミューオン系 の値を比べる。Read γ, γτ0, h/γ, "Ground frame t = h/v" and "Muon frame t' = h/(γv)" in the readout, and compare the (a) Ground frame and (b) Muon frame values under "Fraction reaching the ground (2 independent calculations)".
3. 「速度 β = v/c」スライダーを 0.9999 → 0.998 → 0.99 → 0.95 → 0.90 と動かし、γ、到達率 (a)(b)、「参考: 時間の遅れが無いとすると」の値を表にまとめる。Move the "Speed β = v/c" slider through 0.9999 → 0.998 → 0.99 → 0.95 → 0.90 and make a table of γ, the fractions (a) and (b), and the "For comparison, with no time dilation" value.
4. β = 0.998 に戻し、「生成高度 h」を 5 km と 15 km にして到達率の変化を見る。最後に「ミューオン集団の個数」を 200 にして「リセット(新しい集団)」を何回か押し、生存数の割合が到達率のまわりでばらつくことを確かめる。Return β to 0.998 and set "Creation height h" to 5 km and 15 km to see how the fraction changes. Finally, set "Number of muons" to 200, press "Reset (new group)" several times, and check that the surviving fraction scatters around the calculated fraction.

3確かめようCheck

1. β = 0.998, h = 10 km のとき、γ、γτ0、h/γ はいくつでしたか。At β = 0.998 and h = 10 km, what were γ, γτ0 and h/γ?→ γ = 15.819、γτ0 = 34.80 µs、h/γ = 0.632 km。地面系では飛行時間 t = 33.42 µs が延びた寿命 34.80 µs と同程度になり、ミューオン系では縮んだ大気 0.632 km を t' = 2.113 µs(τ0 程度)で通過する。γ = 15.819, γτ0 = 34.80 µs and h/γ = 0.632 km. In the ground frame the flight time t = 33.42 µs is about the same as the stretched lifetime 34.80 µs; in the muon frame the contracted atmosphere of 0.632 km passes by in t' = 2.113 µs (about τ0).
2. 地面系とミューオン系で計算した地表到達率 (a)(b) は一致しましたか。β = 0.998 での値はいくつでしたか。Did the fractions (a) and (b) calculated in the ground frame and the muon frame agree? What was the value at β = 0.998?→ どのβでも一致した(差 |a−b| はほぼ 0)。β = 0.998 では (a)(b) とも 38.28 %。時間の遅れを考えない場合は 0.0000 % と表示され、ほぼ届かない。They agreed for every β (difference |a−b| essentially 0). At β = 0.998 both were 38.28 %. With no time dilation the value shown was 0.0000 %, meaning almost none would arrive.
3. β を下げていくと地表到達率はどう変わりましたか。How did the fraction reaching the ground change as β was lowered?→ 単調に減少した。β = 0.9999 で 80.70 %、0.998 で 38.28 %、0.99 で 11.53 %、0.95 で 0.685 %、0.90 で 0.0647 %。β が光速に近いほど γ が急に大きくなり、到達率が上がる。It decreased steadily: 80.70 % at β = 0.9999, 38.28 % at 0.998, 11.53 % at 0.99, 0.685 % at 0.95 and 0.0647 % at 0.90. The closer β is to the speed of light, the faster γ grows and the higher the fraction.
4. パネルAとパネルBで、それぞれ何が「変化」して描かれていましたか。In panels A and B, what was drawn as "changed" in each?→ パネルA(地面系)では大気の厚さは h = 10.0 km のまま縮まず、黄色の µ時計 τ が地上の時計 t よりゆっくり進む(t = 33.4 µs のとき τ = 2.11 µs)。パネルB(ミューオン系)では µ時計は正常に進み、大気が h/γ = 0.632 km に縮んで(点線が縮まない場合の h)速さ v で迫ってくる。In panel A (Ground frame) the atmosphere stays at h = 10.0 km (not contracted) and the yellow µ clock τ runs slower than the ground clock t (τ = 2.11 µs when t = 33.4 µs). In panel B (Muon frame) the µ clock runs normally and the atmosphere, contracted to h/γ = 0.632 km (the dashed box shows h if not contracted), comes toward the muon at speed v.

4考えようThink further

1. 2つの慣性系で説明の仕方が違うのに、なぜ到達率が必ず同じになるのでしょうか。Why is the fraction always the same even though the two frames explain it differently?→ 地面系の指数は (h/v)/(γτ0)、ミューオン系の指数は (h/γ)/v/τ0 で、どちらも h/(γvτ0) になる。時間の遅れとローレンツ収縮は同じ因子 γ で起こり、「地表に届く前に崩壊したかどうか」はどの系でも同じ出来事なので、結果は一致しなければならない(相対性原理)。The ground-frame exponent is (h/v)/(γτ0) and the muon-frame exponent is (h/γ)/v/τ0; both equal h/(γvτ0). Time dilation and length contraction involve the same factor γ, and whether a muon decays before reaching the ground is the same event in every frame, so the results must agree (principle of relativity).
2. 同じ集団でも「リセット(新しい集団)」のたびに生存数が変わるのはなぜでしょうか。Why does the surviving count change each time you press "Reset (new group)", even with the same settings?→ 各ミューオンの寿命は平均 τ0 の指数分布に従ってランダムに決まるため。到達率 exp(−h/(γvτ0)) は多数のミューオンの平均の割合であり、個数が少ないほどばらつきが大きい(β = 0.998 で 200 個なら平均 約77 個)。Because each muon's lifetime is chosen at random from an exponential distribution with mean τ0. The fraction exp(−h/(γvτ0)) is an average over many muons, and the smaller the group the larger the scatter (about 77 on average out of 200 at β = 0.998).

よくある誤解Common misconceptions

• 「速く動くとミューオン自身の寿命(固有時)が長くなる」という誤解。固有寿命 τ0 = 2.2 µs は不変で、延びて見えるのは地面系から測った寿命 γτ0 である。ミューオン系では時計は正常に進む。"Moving fast makes the muon's own lifetime (proper time) longer." The proper lifetime τ0 = 2.2 µs never changes; what is longer is the lifetime γτ0 measured from the ground frame. In the muon frame its clock runs normally.
• 「地面系とミューオン系の説明は矛盾しているので、どちらかが間違い」という誤解。時間の遅れとローレンツ収縮は同じ現象を別の系から見たもので、到達率は同じ値になる。"The ground-frame and muon-frame explanations contradict each other, so one must be wrong." Time dilation and length contraction describe the same events from different frames, and they give the same fraction.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)