井戸型ポテンシャルと波束の干渉Infinite Square Well and Wave Packet Interference

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 固有状態 ψ3 では、確率密度 |ψ|² のグラフは時間とともに動くと思いますか。また、壁の間に「確率がゼロになる点(節)」はいくつあると思いますか。In the eigenstate ψ3, do you think the probability density |ψ|² will move over time? And how many points between the walls do you think will have zero probability (nodes)?💡 ψn(x,t) = ψn(x)·e^(−iEn t/ħ) の絶対値の2乗を計算すると、時間の因子はどうなるでしょうか。sin(3πx/L) が 0 になる x も数えてみましょう。If you square the absolute value of ψn(x,t) = ψn(x) e^(−iEn t/ħ), what happens to the time factor? Also count the x values where sin(3πx/L) is zero.
2. 井戸の左寄りに置いたガウス波束は、時間がたつとどうなると思いますか。いつまでも形を保って往復するでしょうか。What do you think will happen over time to a Gaussian wave packet placed on the left side of the well? Will it keep its shape and bounce back and forth forever?💡 波束はエネルギーの異なる多くの固有状態の重ね合わせです。En = n²E1 で、n² はすべて整数であることに注目しましょう。The packet is a superposition of many eigenstates with different energies. Note that En = n²E1 and every n² is an integer.

2動かしてみようTry it

1. 初期状態のメニューで「定在状態 ψn(固有状態)」を選び、「n」スライダーを 1〜6 まで動かして、上段の Reψ・Imψ と下段の |ψ|²、内部の節(ピンクの点)の数を観察する。数値パネルの ∫|ψ|²dx と ψ(0)、ψ(L) も確認する。In the initial-state menu choose "Eigenstate ψn (stationary)" and move the "n" slider from 1 to 6. Observe Reψ and Imψ in the top plot, |ψ|² in the bottom plot, and the number of internal nodes (pink dots). Also check ∫|ψ|²dx, ψ(0) and ψ(L) in the readout.
2. 「重ね合わせ n, n+1」を選び、n = 1、Δφ = 0° にして「リセット」を押す。|ψ|² の山が左右に揺れる様子と、数値パネルの ⟨x⟩/L の最小値・最大値、および「位相の回転速度比 En/E1」の表示を記録する。Choose "Superposition n, n+1", set n = 1 and Δφ = 0°, and press "Reset". Watch the |ψ|² hump slosh left and right, and record the minimum and maximum of ⟨x⟩/L and the "Phase rotation speed ratio En/E1" shown in the readout.
3. 「Δφ」スライダーを 0° から 180° まで動かし、t = 0 での |ψ|² の山の位置がどう変わるかを見る。次に「重ね合わせ n, n+1, n+2」や「重ね合わせ n, 2n」も試す。Move the "Δφ" slider from 0° to 180° and see how the position of the |ψ|² hump at t = 0 changes. Then also try "Superposition n, n+1, n+2" and "Superposition n, 2n".
4. 「ガウス波束(多数の固有状態)」を選んで「リセット」し(x₀=0.25L)、t/Trev が 0 から 1 まで進む間の |ψ|² の形を観察する。必要なら「速度」スライダーを下げたり「一時停止」で止めたりして、t/Trev ≈ 0.12、0.25、0.5、1 の形を比べる。Choose "Gaussian packet (many states)" and press "Reset" (x₀=0.25L). Watch the shape of |ψ|² as t/Trev goes from 0 to 1. Lower the "Speed" slider or use "Pause" if needed, and compare the shapes at t/Trev ≈ 0.12, 0.25, 0.5 and 1.

3確かめようCheck

1. 固有状態 ψn で、内部の節の数と |ψ|² の時間変化はどうでしたか。For an eigenstate ψn, how many internal nodes were there, and how did |ψ|² change over time?→ 内部の節は n−1 個(n = 3 なら x = L/3, 2L/3 の2個)で、壁 x = 0, L では常に ψ(0) = ψ(L) = 0.000 だった。Reψ と Imψ は振動するが |ψ|² の形は変わらず、⟨x⟩/L = 0.500 のまま動かなかった。There were n−1 internal nodes (for n = 3, two nodes at x = L/3 and 2L/3), and at the walls ψ(0) = ψ(L) = 0.000 always. Reψ and Imψ oscillate, but the shape of |ψ|² does not change and ⟨x⟩/L stays at 0.500.
2. 「重ね合わせ n, n+1」(n = 1)では ⟨x⟩/L はどの範囲で変化し、どのくらいの周期で往復しましたか。In "Superposition n, n+1" (n = 1), over what range did ⟨x⟩/L change, and with what period did it swing back and forth?→ ⟨x⟩/L はおよそ 0.32〜0.68 の間を往復した。速度 ×1 で約4秒(Trev/3)ごとに元に戻った。位相の回転速度比は n=1→1、n=2→4 で、差 E2 − E1 = 3E1 が揺れの角振動数を決めている。⟨x⟩/L swung between about 0.32 and 0.68. At Speed ×1 it returned about every 4 s (Trev/3). The phase rotation speed ratio is n=1→1, n=2→4, and the difference E2 − E1 = 3E1 sets the angular frequency of the sloshing.
3. ガウス波束は t/Trev ≈ 0.12、0.25、0.5、1 でそれぞれどんな形でしたか。What shape did the Gaussian packet have at t/Trev ≈ 0.12, 0.25, 0.5 and 1?→ 最初は壁で跳ね返りながら往復するが、t/Trev ≈ 0.12 では井戸全体に広がった細かい凹凸の模様にくずれた。t/Trev = 0.25 では 0.25L 付近と 0.75L 付近に同じ形の山が2つ現れ(部分的な再生)、0.5 では x = 0.75L に1つの波束として鏡像の位置に再生し、1 では元の 0.25L の波束に完全に戻った。At first it bounces off the walls, but by t/Trev ≈ 0.12 it has broken up into a bumpy pattern spread over the whole well. At t/Trev = 0.25 two identical humps appear near 0.25L and 0.75L (a fractional revival); at 0.5 a single packet revives at the mirror position x = 0.75L; and at 1 it fully returns to the original packet at 0.25L.
4. どの状態・どの時刻でも ∫|ψ|²dx はいくつでしたか。それは何を意味しますか。For every state and time, what was the value of ∫|ψ|²dx? What does this mean?→ 常に 1.0000(Σ|cn|² = 1.0000)だった。粒子が井戸のどこかに見つかる確率の合計は時間がたっても1に保たれる(確率の保存)。It was always 1.0000 (Σ|cn|² = 1.0000). The total probability of finding the particle somewhere in the well stays 1 over time (conservation of probability).

4考えようThink further

1. なぜ重ね合わせ状態では |ψ|² が動き、固有状態では動かないのでしょうか。Why does |ψ|² move for a superposition but not for an eigenstate?→ 固有状態では全体に共通の位相 e^(−iEn t/ħ) がかかるだけなので、絶対値の2乗で消える。重ね合わせでは |ψ|² に交差項 2c1c2ψ1ψ2cos((E2−E1)t/ħ) が現れ、エネルギー差に比例する速さで干渉の強め合う場所が移動するため、確率密度が動く。In an eigenstate the whole function only gets a common phase e^(−iEn t/ħ), which cancels when you take the absolute value squared. In a superposition, |ψ|² contains a cross term 2c1c2ψ1ψ2 cos((E2−E1)t/ħ), so the place of constructive interference moves at a rate set by the energy difference, and the probability density moves.
2. ガウス波束が時間 Trev = 2πħ/E1 で必ず元の形に戻るのはなぜでしょうか。Why does the Gaussian packet always return to its original shape after the time Trev = 2πħ/E1?→ En = n²E1 なので、t = Trev で各成分の位相は n²·2π となり、n² が整数だからすべて 2π の整数倍になる。全成分の位相が初期状態とそろうので、重ね合わせ全体が初期状態に戻る(量子リバイバル)。Trev/2 では偶奇の成分の位相差により鏡像の位置に再生する。Because En = n²E1, at t = Trev each component's phase is n²·2π, which is a whole multiple of 2π since n² is an integer. All phases line up with the initial state, so the whole superposition returns (quantum revival). At Trev/2, the phase difference between odd and even components makes it revive at the mirror-image position.

よくある誤解Common misconceptions

• 「固有状態の粒子は壁の間を往復運動している」という誤解。固有状態(定在状態)では確率密度は時間変化せず、⟨x⟩ も動かない。運動が見えるのは異なるエネルギー状態の重ね合わせのときだけである。"A particle in an eigenstate is bouncing back and forth between the walls." In an eigenstate (stationary state) the probability density does not change and ⟨x⟩ does not move; motion appears only in superpositions of different energy states.
• 「波束は一度広がるともう元に戻らない」という誤解。無限井戸ではエネルギーが n² に比例するため、時間 Trev ごとに波束は完全に元の形に再生する。"Once a wave packet spreads out, it can never come back." In an infinite well, because the energy is proportional to n², the packet revives exactly to its original shape every Trev.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)