← 作品一覧← All works
授業ガイド・ワークシートLESSON GUIDE · WORKSHEET

マグヌス効果：回転円柱と循環による揚力Magnus Effect: Lift on a Spinning Cylinder from Circulation

大学・発展 · 物理単元: 流体（ベルヌーイの定理と揚力）Magnus Effect: Lift on a Spinning Cylinder from Circulation 目安 25分about 25 min
ねらいGoal：一様流中で循環 Γ をもつ円柱では、回転の向きに流れが加速される側の圧力が下がって上下の圧力分布が非対称になり、クッタ＝ジューコフスキーの定理 L = ρUΓ で表される揚力(マグヌス効果)が生じること、循環の強さ s = Γ/(4πaU) に応じてよどみ点が sinθₛ = −s に従って移動することを理解する。Students understand that for a cylinder with circulation Γ in a uniform flow, the side where the spin speeds up the flow has lower pressure, making the pressure distribution asymmetric and producing lift (the Magnus effect) given by the Kutta–Joukowski theorem L = ρUΓ, and that the stagnation points move according to sinθₛ = −s, where s = Γ/(4πaU) is the circulation strength.
▶ シミュレーションを開く▶ Open the simulation

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

  1. 左から右へ流れる風の中で円柱を時計回りに回すと、円柱は上・下のどちらへ押されると思いますか。If a cylinder in a wind blowing from left to right spins clockwise, do you think it will be pushed up or down?💡 時計回りの円柱の上側の表面と下側の表面は、それぞれ流れと同じ向き・逆向きのどちらに動いているでしょうか。速い所の圧力はどうなるかも考えましょう。For a clockwise spin, is the top surface moving with or against the flow? And the bottom surface? Also think about what happens to the pressure where the flow is fast.
  2. 流れが円柱に当たって速さ 0 になる「よどみ点」は、回転がないとき円柱のどこにできると思いますか。回転を強くするとどう動くと思いますか。Where on the cylinder do you think the stagnation points (where the flow speed is 0) are when there is no spin? How do you think they move as the spin gets stronger?💡 回転がないときの流れの対称性を考えてみましょう。Think about the symmetry of the flow when there is no spin.

2動かしてみようTry it

  1. 「s=0」ボタンを押し、流跡線の形、Cp(θ) グラフ(青:上半面、橙:下半面)、数値パネルの「よどみ点」「表面流速 上端 / 下端」「理論揚力 L = ρUΓ」を記録する。Press the "s=0" button and record the shape of the tracer paths, the Cp(θ) graph (blue: upper half, orange: lower half), and "Stagnation points", "Surface speed top / bottom", and "Theoretical lift L = ρUΓ" in the number panel.
  2. 「s=+0.5」と「s=−0.5」のボタンを押し比べ、「回転方向」「揚力の向き」、揚力の矢印、よどみ点の θ、上端と下端の表面流速、Cp グラフの非対称性を記録する。Compare the "s=+0.5" and "s=−0.5" buttons and record "Spin direction", "Lift direction", the lift arrow, the θ of the stagnation points, the top and bottom surface speeds, and the asymmetry of the Cp graph.
  3. 「理論揚力 L = ρUΓ」と「Cp の θ 積分による揚力」、「両者の差」「Cp 積分による抗力 D」を読み比べる。Compare "Theoretical lift L = ρUΓ" with "Lift from integrating Cp over θ", and read "Difference" and "Drag D from Cp integral".
  4. 「s=+1」、次に「s=+1.3」を押し、よどみ点の表示と流れの様子(黄色のよどみ流線、円柱のまわりを回り続ける領域)の変化を観察する。必要なら「流跡リセット」で軌跡を消して見直す。Press "s=+1" and then "s=+1.3" and observe how the stagnation point display and the flow pattern change (the yellow stagnation streamline and the region that keeps circling the cylinder). Use "Reset trails" to clear the paths and look again if needed.
  5. 「s=+0.5」に戻し、「② 一様流速 U [m/s]」を 10 → 20、次に U = 10 のまま「③ 流体密度 ρ [kg/m³]」を 1.2 → 2.4 にして、Γ と揚力の変化を記録する。Go back to "s=+0.5", change "② Flow speed U [m/s]" from 10 to 20, then with U = 10 change "③ Fluid density ρ [kg/m³]" from 1.2 to 2.4, and record how Γ and the lift change.

3確かめようCheck

  1. s = 0 のとき、流れ・よどみ点・揚力はどうなっていましたか。At s = 0, what did you see for the flow, the stagnation points, and the lift?→ 流跡線と Cp(θ) は上下対称で、表面流速は上端・下端とも 20.0 m/s(= 2U)。よどみ点は θ = 0.0°, 180.0°(円柱の真後ろと真正面、流れに垂直な軸から測ると φ = 90°, 270°)にあり、揚力は 0 だった。The tracer paths and Cp(θ) were symmetric top-to-bottom, and the surface speed was 20.0 m/s (= 2U) at both top and bottom. The stagnation points were at θ = 0.0° and 180.0° (directly behind and in front of the cylinder; φ = 90° and 270° measured from the axis perpendicular to the flow), and the lift was 0.
  2. s = +0.5 と s = −0.5 ではどう違いましたか。How did s = +0.5 and s = −0.5 differ?→ s = +0.5(時計回り、Γ = 6.283 m²/s)では表面流速が上端 30.0 m/s・下端 10.0 m/s となり、上半面の平均 Cp が −4.55 と低圧、揚力は 75.40 N/m で上向き、よどみ点は下側の θ = 210°, 330°(sinθ = −0.50)へ移った。s = −0.5(反時計回り)ではすべてが上下反転し、揚力は −75.40 N/m で下向き、よどみ点は上側の θ = 30°, 150° に移った。At s = +0.5 (clockwise, Γ = 6.283 m²/s) the surface speed was 30.0 m/s at the top and 10.0 m/s at the bottom, the upper half had a mean Cp of −4.55 (low pressure), the lift was 75.40 N/m upward, and the stagnation points moved down to θ = 210° and 330° (sinθ = −0.50). At s = −0.5 (counterclockwise) everything flipped top-to-bottom: lift −75.40 N/m (downward) and stagnation points moved up to θ = 30° and 150°.
  3. Cp を積分して求めた揚力と L = ρUΓ は一致しましたか。抗力はどうでしたか。Did the lift found by integrating Cp agree with L = ρUΓ? What about the drag?→ どの s でも一致した(例: s = +0.5 で両方 75.40 N/m、差は 10⁻¹³ N/m 程度)。表面の圧力分布を足し合わせた力がちょうど ρUΓ になる。抗力 D は 0.000 N/m だった。Yes, for every s (for example, both were 75.40 N/m at s = +0.5, with a difference of about 10⁻¹³ N/m). The force from adding up the surface pressure is exactly ρUΓ. The drag D was 0.000 N/m.
  4. s = +1 と s = +1.3 では、よどみ点はどうなりましたか。U や ρ を2倍にすると揚力はどうなりましたか。What happened to the stagnation points at s = +1 and s = +1.3? What happened to the lift when U or ρ was doubled?→ s = +1 では2つのよどみ点が円柱の真下 θ = 270° の1点に一致し、下端の表面流速は 0.0 m/s になった。s = +1.3 ではよどみ点が表面から離れて r = 2.13a, θ = 270° の流れの中にでき、黄色の線で囲まれた領域の粒子は円柱のまわりを回り続けた。s = +0.5 で U を 20 m/s にすると Γ も 12.566 m²/s に増え揚力は 301.59 N/m(約4倍)、ρ を 2.4 にすると揚力は 150.80 N/m(2倍)になった。At s = +1 the two stagnation points merged into one at the bottom, θ = 270°, and the bottom surface speed was 0.0 m/s. At s = +1.3 the stagnation point left the surface and sat in the flow at r = 2.13a, θ = 270°, and particles inside the region bounded by the yellow line kept circling the cylinder. At s = +0.5, raising U to 20 m/s also raised Γ to 12.566 m²/s, so the lift became 301.59 N/m (about 4 times); raising ρ to 2.4 made the lift 150.80 N/m (2 times).

4考えようThink further

  1. s を一定にして U を2倍にすると、揚力が2倍ではなく4倍になったのはなぜでしょうか。Why did doubling U with s held fixed make the lift 4 times larger instead of 2 times?→ s = Γ/(4πaU) を一定にすると Γ = 4πaUs も U に比例して2倍になる。L = ρUΓ = 4πaρU²s なので U の2乗に比例し、4倍になる。Γ(つまり回転の速さ)を一定に保って U だけを2倍にした場合なら、揚力は2倍になる。Holding s = Γ/(4πaU) fixed means Γ = 4πaUs also doubles with U. Then L = ρUΓ = 4πaρU²s is proportional to U², so it becomes 4 times larger. If Γ (that is, the spin rate) were kept fixed and only U doubled, the lift would only double.
  2. 野球やサッカーでボールが曲がる(カーブ・バナナシュート)のは、このシミュレーションとどう関係していますか。How is the curving of a ball in baseball or soccer (a curveball or banana kick) related to this simulation?→ 回転するボールのまわりにも循環ができ、回転の向きに流れが速くなる側が低圧になって、進行方向に垂直な力(マグヌス力)を受けて曲がる。実際のボールは3次元で、粘性によって回転が周りの空気を引きずることで循環が生じるが、「回転 → 循環 → 圧力差 → 揚力」という仕組みは同じである。A spinning ball also has circulation around it; the side where the spin speeds up the air has lower pressure, so the ball feels a force perpendicular to its motion (the Magnus force) and curves. A real ball is 3D, and its circulation comes from viscosity letting the spinning surface drag the air, but the chain "spin → circulation → pressure difference → lift" is the same.

よくある誤解Common misconceptions

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)

マグヌス効果Magnus effect循環circulationクッタ＝ジューコフスキーの定理Kutta–Joukowski theorem圧力係数 Cppressure coefficient Cpよどみ点stagnation pointポテンシャル流potential flow

先生へFor teachers

非粘性・渦なしのポテンシャル流モデル(円柱半径 a = 0.10 m、単位長さあたりの2次元)なので、境界層・剥離・後流がなく抗力は常に 0(ダランベールのパラドックス)で、実際の回転円柱の揚力は L = ρUΓ より小さくなる。角度 θ は下流方向(右)を 0° として反時計回りに測るため、Γ = 0 のよどみ点は θ = 0°, 180° と表示される。流れに垂直な軸から測った φ = θ + 90° も数値パネルに併記されているので、教科書の図と比べるときに使い分けさせるとよい。This is an inviscid, irrotational potential-flow model (cylinder radius a = 0.10 m, 2D per unit length), so there is no boundary layer, separation, or wake, and the drag is always 0 (d'Alembert's paradox); a real spinning cylinder gets less lift than L = ρUΓ. The angle θ is measured counterclockwise from the downstream direction (right), so with Γ = 0 the stagnation points are shown at θ = 0° and 180°. The number panel also lists φ = θ + 90°, measured from the axis perpendicular to the flow, which helps when comparing with textbook diagrams.