LC結合2回路の基準振動とエネルギー移動Normal Modes and Energy Transfer in Two Coupled LC Circuits

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 2つのコンデンサに同じ符号の電荷を与えて始める(同位相)場合と、逆符号の電荷を与えて始める(逆位相)場合では、どちらの電気振動の振動数が高いと思いますか。Compare starting with charges of the same sign on both capacitors (in-phase) and with charges of opposite sign (anti-phase). Which electrical oscillation do you think has the higher frequency?💡 2つのコイルの電流が同じ向きのとき、相手のコイルの磁束は自分の磁束を強めるか弱めるかを考え、それが実効的なインダクタンスにどう影響するかを考えましょう。When the currents in the two coils flow the same way, think about whether the other coil's flux adds to or cancels this coil's flux, and how that changes the effective inductance.
2. 回路1だけを充電し、回路2は電荷0から始めると、回路2のエネルギーはその後どうなると思いますか。If only circuit 1 is charged and circuit 2 starts with zero charge, what do you think will happen to the energy of circuit 2?💡 回路1の電流が変化すると、相互誘導によって回路2に起電力が生じます。When the current in circuit 1 changes, mutual induction produces an emf in circuit 2.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「結合係数 k = M/L」= 0.20、「初期電荷比 q2(0)/q1(0)」= 0.00、「再生速度」= 1.0×)で約5秒観察する。オシロの q1(t), q2(t)、下の U1・U2・M·i1·i2 の棒、E の値、「U2 が最大になった時刻」を読み、T = π/|ω+−ω−| の表示と比べる。In the starting state ("Coupling coefficient k = M/L" = 0.20, "Initial charge ratio q2(0)/q1(0)" = 0.00, "Playback speed" = 1.0×), watch for about 5 s. Read q1(t), q2(t) on the scope, the U1, U2 and M·i1·i2 bars, the value of E, and "Time when U2 peaked", and compare them with the displayed T = π/|ω+−ω−|.
2. 「同位相モード」ボタンを押し、2つのコンデンサの「＋」「−」の並び方と回路図の電流の向き、ω− の「測定」値を確認する。Press the "In-phase mode" button and check the pattern of "+" and "−" on the two capacitors, the current directions in the circuit diagram, and the "Measured" value of ω−.
3. 「逆位相モード」ボタンを押し、同様に電荷と電流の向きと ω+ の「測定」値を確認し、同位相モードと比べる。Press the "Anti-phase mode" button, check the charges, current directions and the "Measured" value of ω+ in the same way, and compare with the in-phase mode.
4. 「ビート(比0)」ボタンを押し、「結合係数 k」を 0.05 に下げ(見やすいよう「再生速度」を 3.0× にしてもよい)、T と「U2 が最大になった時刻」を読む。次に k を 0.90 に上げて同じ値を読む。Press the "Beats (ratio 0)" button and lower "Coupling coefficient" k to 0.05 (you may set "Playback speed" to 3.0× to make it easier to watch), then read T and "Time when U2 peaked". Next, raise k to 0.90 and read the same values.

3確かめようCheck

1. k = 0.20 のとき、同位相モードと逆位相モードの角振動数はいくらでしたか。どちらが高かったですか。At k = 0.20, what were the angular frequencies of the in-phase and anti-phase modes? Which was higher?→ 同位相モードは ω− = 5.736 rad/s(理論・測定とも)、逆位相モードは ω+ = 7.025 rad/s で、逆位相モードのほうが高かった。ω0 = 6.283 rad/s をはさんで、同位相は低く、逆位相は高くなる。The in-phase mode had ω− = 5.736 rad/s (both theory and measurement) and the anti-phase mode had ω+ = 7.025 rad/s, so the anti-phase mode was higher. The in-phase frequency lies below ω0 = 6.283 rad/s and the anti-phase frequency above it.
2. 初期電荷比 0 で始めたとき、エネルギーはどのように移り、全エネルギー E はどうでしたか。When starting with charge ratio 0, how did the energy move, and what happened to the total energy E?→ 最初は U1 が約 100%、U2 が 0% で、U1 が減るにつれて U2 が増え、約 2.45 s で U2 が最大になった。これは T = π/|ω+−ω−| = 2.44 s とほぼ一致する。その後エネルギーは回路1に戻り、これをくり返す。E は 19.73921 のまま一定(変化は 10⁻¹² 程度)だった。At first U1 was about 100% and U2 was 0%. As U1 fell, U2 grew, and U2 peaked at about 2.45 s, very close to T = π/|ω+−ω−| = 2.44 s. Then the energy moved back to circuit 1, and this repeated. E stayed constant at 19.73921 (change of about 10⁻¹²).
3. k を 0.05 と 0.90 にすると、エネルギーが移るまでの時間 T はどうなりましたか。How did the energy transfer time T change when k was 0.05 and 0.90?→ k = 0.05 では T = 9.98 s(近似 π/(kω0) = 10.00 s)と長くなり、U2 の最大は 9.99 s だった。k = 0.90 では T = 0.21 s と非常に短くなったが、近似式 π/(kω0) = 0.56 s とは大きくずれ、U2 の最大も 0.24 s と T から少しずれた。At k = 0.05, T became long, 9.98 s (approximation π/(kω0) = 10.00 s), and U2 peaked at 9.99 s. At k = 0.90, T became very short, 0.21 s, but far from the approximation π/(kω0) = 0.56 s, and U2 peaked at 0.24 s, a little off from T.

4考えようThink further

1. 同位相モードのほうが振動数が低くなるのはなぜでしょうか。Why is the in-phase mode the one with the lower frequency?→ 同位相モードでは i1 = i2 なので、各コイルの磁束鎖交数は L·i + M·i = (L+M)i となり、実効インダクタンスが L(1+k) に増える。振動数は 1/√(LC) に比例するので ω− = ω0/√(1+k) と低くなる。逆位相モードでは i2 = −i1 で実効インダクタンスが L(1−k) に減り、ω+ = ω0/√(1−k) と高くなる。In the in-phase mode i1 = i2, so the flux linkage of each coil is L·i + M·i = (L+M)i and the effective inductance increases to L(1+k). Since the frequency is proportional to 1/√(LC), ω− = ω0/√(1+k) is lower. In the anti-phase mode i2 = −i1, the effective inductance drops to L(1−k), and ω+ = ω0/√(1−k) is higher.
2. この LC 結合回路は、ばねでつないだ2つの振り子とどのように対応していますか。How does this pair of coupled LC circuits correspond to two pendulums joined by a spring?→ 電荷 q が変位、電流 i が速度、インダクタンス L が質量、1/C がばね定数に対応し、相互インダクタンス M が2つをつなぐ結合の役割をする。どちらも運動方程式が同じ形の連立微分方程式なので、2つの基準振動とその重ね合わせによるビート、エネルギーの往復という同じ現象が起こる(力学では結合がばねなのに対し、ここでは結合が「質量」にあたる L の側にある点が異なる)。Charge q corresponds to displacement, current i to velocity, inductance L to mass, and 1/C to the spring constant, with the mutual inductance M acting as the coupling. Both systems obey coupled differential equations of the same form, so the same phenomena appear: two normal modes, beats from their superposition, and energy moving back and forth. (One difference: in the pendulums the coupling is a spring, while here the coupling is on the inductance side, which corresponds to mass.)

よくある誤解Common misconceptions

• 「電流が同じ向きに流れる同位相モードのほうが、強め合って振動数が高くなる」という誤解。磁束が強め合うと実効インダクタンスが大きくなり、振動数はむしろ低くなる。"In the in-phase mode the currents flow the same way and reinforce each other, so its frequency is higher." When the fluxes add, the effective inductance gets larger, so the frequency actually becomes lower.
• 「回路1の振動が小さくなるのは抵抗でエネルギーが失われるから」という誤解。このモデルに抵抗はなく、全エネルギー E は一定のままで、エネルギーは相互誘導によって回路2へ移っている。"Circuit 1's oscillation shrinks because energy is lost in resistance." There is no resistance in this model; the total energy E stays constant, and the energy moves to circuit 2 by mutual induction.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)