二重振り子のエネルギー収支と位相空間観測所Double Pendulum: Energy Balance and Phase Space Observatory

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 振り子が激しく回転するほど運動が速くなっていきます。このとき全エネルギー E = T + U は時間とともに増える、減る、変わらない、のどれだと思いますか。The pendulum can spin wildly and very fast. Do you think the total energy E = T + U increases, decreases, or stays the same over time?💡 この系に外から仕事をする力や、摩擦・空気抵抗があるかどうかを考えましょう。Think about whether any outside force does work on the system, and whether there is friction or air resistance.
2. 初期角度を 10° 程度の小さな値から 120° 以上の大きな値に変えると、位相空間 (θ1, θ2) に描かれる軌道の形はどう変わると思いますか。If you change the starting angles from small values (about 10°) to large ones (120° or more), how do you think the shape of the path drawn in phase space (θ1, θ2) will change?💡 小さな角度では sinθ ≈ θ と近似でき、運動方程式が線形になることを思い出しましょう。Recall that for small angles sinθ ≈ θ, which makes the equations of motion linear.

2動かしてみようTry it

1. 「初期 θ1」と「初期 θ2」をともに 10°、「質量比 m2/m1」を 1.0 にして約20秒観察する。位相空間の軌道の形と、右下の「被覆率」、上のHUDの E と ΔE/E₀ の値を記録する。Set "Start θ1" and "Start θ2" both to 10° and "Mass ratio m2/m1" to 1.0, and watch for about 20 s. Record the shape of the phase space path, the "Coverage" at the lower right, and the E and ΔE/E₀ values in the readout above the controls.
2. 「初期 θ1」を 120°、「初期 θ2」を 150° にして同様に約20秒観察する。振り子が真上を越えて回転する様子、HUD の「回転数 n1, n2」と θ1, θ2 の値、エネルギーグラフで T と U が入れ替わる様子を見る。Set "Start θ1" to 120° and "Start θ2" to 150° and watch for about 20 s again. Look for the pendulum swinging over the top, the "Full turns n1, n2" and θ1, θ2 values in the readout, and how T and U trade places in the energy graph.
3. それぞれの条件で「現在の条件と一緒に記録」を押し、被覆率を観察記録に残して比べる。For each setting, press "Record with current settings" to save the coverage in the observation log, and compare.
4. θ1 = 120°、θ2 = 150° のまま「質量比 m2/m1」を 0.2 と 5.0 に変え、どちらの棒がよく回るか、エネルギー棒グラフ(「全体」「質1」「質2」)と位相空間の色(「ω1優勢」赤側/「ω2優勢」青側)がどう変わるかを観察する。Keeping θ1 = 120° and θ2 = 150°, change "Mass ratio m2/m1" to 0.2 and to 5.0. Observe which rod spins more, and how the energy bars ("Total", "m1", "m2") and the phase space colors ("ω1 leads" red side / "ω2 leads" blue side) change.
5. 最後に「初期 θ1」「初期 θ2」をともに 180°、質量比 1.0 にして、「一時停止」「リセット」も使いながら振り子がどうなるかを確かめる。Finally, set "Start θ1" and "Start θ2" both to 180° with mass ratio 1.0, and check what the pendulum does, also using "Pause" and "Reset".

3確かめようCheck

1. 運動が激しい θ1 = 120°、θ2 = 150° のとき、E と ΔE/E₀ はどうなっていましたか。With the wild motion at θ1 = 120°, θ2 = 150°, what did E and ΔE/E₀ show?→ E は約 47.74 J のまま変わらず、ΔE/E₀ は 10⁻¹⁰〜10⁻⁹ 程度と極めて小さかった(RK4 の数値誤差のみ)。T と U は激しく入れ替わるが、その和は一定に保たれる。E stayed at about 47.74 J, and ΔE/E₀ was extremely small, around 10⁻¹⁰ to 10⁻⁹ (only RK4 numerical error). T and U trade places rapidly, but their sum stays constant.
2. θ1 = θ2 = 10° と θ1 = 120°, θ2 = 150° で、約20秒後の被覆率はどれくらい違いましたか。After about 20 s, how different was the coverage for θ1 = θ2 = 10° and for θ1 = 120°, θ2 = 150°?→ 10°/10° では約 0.4% で、軌道は中央付近の小さな整った曲線にとどまった。120°/150° では約 37% に達し、軌道が −π〜π の平面を不規則に広く埋めた。30°/30° で約 1.6%、90°/0° で約 16% と、角度を大きくするほど複雑になった。At 10°/10° it was about 0.4%, and the path stayed as a small, neat curve near the center. At 120°/150° it reached about 37%, and the path filled the −π to π plane irregularly. At 30°/30° it was about 1.6% and at 90°/0° about 16%, so the path gets more complex as the angles get larger.
3. θ1 = 120°, θ2 = 150° で、θ1 や θ2 の値は ±180° の範囲に収まっていましたか。振り子のアニメーションはどうでしたか。At θ1 = 120°, θ2 = 150°, did θ1 and θ2 stay within ±180°? How did the pendulum animation look?→ 収まらなかった。θ2 が 1000° を超えたり θ1 が −700° 程度になったりし、「回転数」n1, n2 が増減した。棒は真上を越えて何回転もするが、アニメーションは途切れず連続的に回り続けた(位相空間の表示だけ −π〜π に折り返している)。No. θ2 went past 1000° and θ1 reached around −700°, and the "Full turns" n1, n2 counted up and down. The rods swing over the top many times, but the animation keeps turning smoothly without jumps (only the phase space plot wraps angles into −π to π).
4. θ1 = θ2 = 180°(両方とも真上)から始めると、振り子はどうなりましたか。What did the pendulum do when started from θ1 = θ2 = 180° (both pointing straight up)?→ 20秒たっても θ1 = θ2 = 180°、ω1 = ω2 = 0 のまま静止し、被覆率は 0.0% だった。真上は力がつり合う平衡点だが、現実ではわずかなずれで倒れる不安定な平衡である。Even after 20 s it stayed at θ1 = θ2 = 180° with ω1 = ω2 = 0, and the coverage was 0.0%. Straight up is an equilibrium where the forces balance, but in reality it is unstable and the smallest nudge makes it fall.

4考えようThink further

1. エネルギーが保存されているのに、なぜ大きな初期角度では運動が予測しにくい(カオス的な)ものになるのでしょうか。Energy is conserved, so why does the motion become hard to predict (chaotic) at large starting angles?→ エネルギー保存は E = 一定 という1つの条件しか与えず、4つの変数 (θ1, θ2, ω1, ω2) の動きを決めきれない。大振幅では sinθ や cos(θ1−θ2) の非線形性が強く効き、初期条件のわずかな違いが時間とともに急速に拡大するため、軌道が規則的な曲線にならず位相空間を広く埋める。小振幅では方程式がほぼ線形になり、2つの基準振動の重ね合わせ(リサージュ図形のような整った軌道)になる。Energy conservation gives only one condition, E = constant, which cannot fix how four variables (θ1, θ2, ω1, ω2) move. At large amplitude the nonlinear terms sinθ and cos(θ1−θ2) matter strongly, and tiny differences in the starting state grow rapidly, so the path does not close into a regular curve and fills phase space widely. At small amplitude the equations are almost linear and the motion is a superposition of two normal modes, giving a neat Lissajous-like path.
2. 質量比 m2/m1 を 0.2 にしたとき、先端の棒(棒2)がとくによく回ったのはなぜでしょうか。Why did the outer rod (rod 2) spin especially often when the mass ratio m2/m1 was 0.2?→ 質点2が軽いと、棒1の運動から受け取ったわずかなエネルギーでも質点2の速さが大きくなり、真上を越えるのに必要な位置エネルギーも小さいため。実際に m2/m1 = 0.2 では θ1 は ±100° 程度で往復する一方、θ2 は 1000° を超えて n2 が 3 回転に達した。When mass 2 is light, even a small amount of energy received from rod 1's motion gives it a high speed, and it needs little potential energy to go over the top. In the simulation at m2/m1 = 0.2, θ1 swung back and forth within about ±100°, while θ2 went past 1000° and n2 reached 3 turns.

よくある誤解Common misconceptions

• 「カオス的に激しく動くのはエネルギーが増えているから」という誤解。E は一定のままで、T と U、質点1と質点2の間でエネルギーが配分し直されているだけである。"The chaotic, wild motion means energy is increasing." E stays constant; energy is only being redistributed between T and U and between mass 1 and mass 2.
• 「カオスとは法則がなくでたらめに動くこと」という誤解。運動は決定論的な運動方程式に厳密に従っており、同じ初期条件(「リセット」)からは同じ運動が再現される。予測が難しいのは初期条件への敏感さのためである。"Chaos means random motion that follows no law." The motion strictly follows deterministic equations of motion, and the same starting state ("Reset") reproduces the same motion. It is hard to predict because it is extremely sensitive to the starting state.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)