バタフライ効果実証室：二重振り子の初期値敏感さButterfly Effect Lab: How a Double Pendulum Depends on Its Starting Conditions

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 下の振り子の初期角だけが 0.0001 rad（約0.006°）違う2本の二重振り子を同時に放すと、2本の動きはいつまで同じに見えるだろうか。Two double pendulums are released together, with only the lower arm's starting angle differing by 0.0001 rad (about 0.006°). How long will their motions look the same?💡 差が「毎秒一定量ずつ」増えるのか、「毎秒一定の倍率で」増えるのかで、答えは大きく変わる。The answer depends hugely on whether the difference grows by a fixed amount each second or by a fixed factor each second.
2. 初期の差を100分の1に小さくできたら、2本が同じに見える時間は何倍に延びるだろうか。If you could make the starting difference 100 times smaller, how many times longer would the two pendulums look the same?💡 予想を立てたら、スライダー (b) で初期角差を変えてグラフの線がどう平行移動するか確かめよう。Once you have a prediction, change the starting gap with slider (b) and see how the line on the graph shifts.

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（(a) 質量比 m2/m1 = 1.00、(b) 初期角差 Δθ0 = 1.0e-4 rad、(c) 持ち上げ角 θ1(0) = 120°）で「やり直す」を押す。青いAと赤いBが重なって揺れる様子と、下の |Δθ1|+|Δθ2| の対数グラフを観察し、表示が「ほぼ重なっている」→「乖離開始」→「完全に分岐！」と変わる時刻を記録する。必要なら「速度 ×1」を押して再生速度を変える。With the starting settings ((a) Mass ratio m2/m1 = 1.00, (b) Start gap Δθ0 = 1.0e-4 rad, (c) Start angle θ1(0) = 120°), press "Reset". Watch blue A and red B swing on top of each other and the log graph of |Δθ1|+|Δθ2|, and record the times when the badge changes from "Nearly overlapping" to "Diverging" to "Fully diverged!". Press "Speed ×1" to change the playback speed if needed.
2. グラフで、差が直線的に増える区間と横ばいになる区間を見分け、HUDの「推定λ」と「E保持率」「最大誤差」を記録する。On the graph, find the part where the difference rises along a straight line and the part where it levels off. Record "Est. λ", "E drift" and "Max error" from the HUD.
3. (b) 初期角差 Δθ0 を 1.0e-2 rad、1.0e-1 rad に変え、「完全に分岐！」になる時刻を比べる。Change (b) Start gap Δθ0 to 1.0e-2 rad and 1.0e-1 rad, and compare the times when "Fully diverged!" appears.
4. (b) を 1.0e-4 rad に戻し、(c) 持ち上げ角 θ1(0) を 150° にして、(a) 質量比 m2/m1 を 1.00 と 0.05 で比べる（灰色の前回曲線も参考にする）。170° でも同じ比較をする。Set (b) back to 1.0e-4 rad, set (c) Start angle θ1(0) to 150°, and compare (a) Mass ratio m2/m1 = 1.00 with 0.05 (use the grey previous-run line too). Repeat the comparison at 170°.
5. (a) を 1.00 に戻し、(c) 持ち上げ角を 40° にして、小さな振れ幅のときに2本が分かれるかどうかを確かめる。Set (a) back to 1.00 and (c) Start angle to 40°, and check whether the two pendulums separate when the swing is small.

3確かめようCheck

1. 初期設定（θ1(0) = 120°、m2/m1 = 1、Δθ0 = 1e-4 rad）で、2本が「乖離開始」「完全に分岐！」になるのは何秒後か。推定λはいくらか。With the starting settings (θ1(0) = 120°, m2/m1 = 1, Δθ0 = 1e-4 rad), after how many seconds do "Diverging" and "Fully diverged!" appear? What is Est. λ?→ 差が 0.01 rad を超える「乖離開始」は約4秒後、0.5 rad を超える「完全に分岐！」は約7.5秒後。推定λ ≈ 1.1 /s で、グラフは途中まで右上がりの直線（細かい凸凹つき）になり、その後は数 rad で横ばい（飽和）になる。"Diverging" (gap above 0.01 rad) appears after about 4 s and "Fully diverged!" (above 0.5 rad) after about 7.5 s. Est. λ ≈ 1.1 /s. The graph first rises along a straight line (with small wiggles) and then levels off at a few rad (saturation).
2. Δθ0 を 1e-4、1e-2、1e-1 rad にすると、「完全に分岐！」になる時刻はどう変わるか。How does the time of "Fully diverged!" change for Δθ0 = 1e-4, 1e-2 and 1e-1 rad?→ 約7.5秒、約3.7秒、約1.7秒。初期の差を100倍にしても分岐までの時間は約4秒短くなるだけで、これは ln100/λ ≈ 4.6/1.1 ≈ 4秒 とほぼ一致する。About 7.5 s, about 3.7 s and about 1.7 s. Making the starting gap 100 times larger shortens the time by only about 4 s, close to ln100/λ ≈ 4.6/1.1 ≈ 4 s.
3. θ1(0) = 150° と 170° で、m2/m1 = 1 と 0.05 では推定λと分岐の時刻はどう違うか。At θ1(0) = 150° and 170°, how do Est. λ and the divergence time differ between m2/m1 = 1 and 0.05?→ 150° では m2/m1 = 1 で λ ≈ 2.0 /s・約5.5秒、0.05 で λ ≈ 0.9 /s・約8.8秒。170° では 1 で約3.4秒、0.05 で約12.8秒。下の振り子が軽いと分離の伸びが緩やかになり、2本が長く重なったままになる。At 150°: m2/m1 = 1 gives λ ≈ 2.0 /s and about 5.5 s; 0.05 gives λ ≈ 0.9 /s and about 8.8 s. At 170°: about 3.4 s for 1 and about 12.8 s for 0.05. With a light lower bob the separation grows more slowly and the two stay together longer.
4. θ1(0) = 40°（m2/m1 = 1）ではどうなるか。また、どの条件でもE保持率はどのくらいか。What happens at θ1(0) = 40° (m2/m1 = 1)? And how large is the E drift in every case?→ 40秒たっても差は 3e-4 rad 程度で「ほぼ重なっている」のままで、推定λ ≈ 0.04 /s とほぼ規則的な運動になる。E保持率はどの条件でも ±0.0000% と表示され、数値積分によるエネルギーのずれはきわめて小さい。Even after 40 s the gap is only about 3e-4 rad and the badge stays "Nearly overlapping", with Est. λ ≈ 0.04 /s: the motion is nearly regular. The E drift shows ±0.0000% in every case, so the energy error from the numerical integration is tiny.

4考えようThink further

1. 天気予報で、観測の精度を10倍よくしても何週間も先まで予報できるようにならないのはなぜか。このシミュレーションの結果を使って説明しよう。Why can't weather forecasts reach many weeks ahead even if observations become 10 times more precise? Explain using the results of this simulation.→ カオス系では差が d(t) ≈ Δθ0·e^{λt} と指数関数的に増えるので、差が許容量に達するまでの時間は ln(許容量/Δθ0)/λ になる。初期誤差を10分の1にしても、延びる時間は ln10/λ だけ（この振り子では約2秒）で、精度を上げても予測可能な時間は対数的にしか延びない。大気も同じ性質をもつため、長期の正確な予報には限界がある。In a chaotic system the difference grows exponentially, d(t) ≈ Δθ0·e^{λt}, so the time to reach an allowed error is ln(allowed/Δθ0)/λ. Making the initial error 10 times smaller adds only ln10/λ (about 2 s for this pendulum), so better precision extends the predictable time only logarithmically. The atmosphere behaves the same way, which limits accurate long-range forecasts.
2. コンピュータの計算にも丸め誤差があるのに、このシミュレーションの結果を信頼してよいのはどんな点か。Computer calculations have rounding errors too. In what sense can we still trust the results of this simulation?→ 丸め誤差や打ち切り誤差も e^{λt} で拡大されるので、分岐した後のA・Bの具体的な動き（個々の軌道）は長時間は正しく追えない。しかし、エネルギーがほぼ保存されていることや、λ の大きさ、「指数成長→飽和」という性質は計算法を変えても変わらないので信頼できる。Rounding and truncation errors are also magnified by e^{λt}, so the exact motion of A and B after they separate (the individual trajectories) cannot be followed correctly for long. But energy conservation, the size of λ and the pattern "exponential growth then saturation" do not depend on the method, so those can be trusted.

よくある誤解Common misconceptions

• 運動方程式が決まっている（決定論的な）系なら、いつまでも正確に未来を予測できる、という誤解。決定論的でも、初期値のわずかな差が指数関数的に拡大するため、実際には有限時間しか予測できない。The idea that a system with fixed equations of motion (a deterministic system) can always be predicted far into the future. Even when deterministic, tiny differences in starting values grow exponentially, so in practice prediction works only for a limited time.
• 二重振り子はどんな条件でもカオス的に動く、という誤解。振れ幅が小さい（θ1(0) = 40° など）と、ほぼ規則的に動いて2本はほとんど分かれない。The idea that a double pendulum is chaotic under all conditions. With a small swing (for example θ1(0) = 40°) it moves almost regularly and the two pendulums hardly separate.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)