二重振り子カオス実験室Double Pendulum Chaos Lab

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 下の振り子の初期角だけを 0.001 rad(約 0.06°)ずらしたもう1台(分身)を同時に放すと、2台の動きは10秒後もほぼ同じだと思いますか。If a second pendulum (the twin) is released at the same time with only the lower arm's starting angle shifted by 0.001 rad (about 0.06°), do you think the two will still move almost the same way after 10 seconds?💡 小さなずれが、時間とともに一定のままか、少しずつ増えるか、急に大きくなるかを考えてみましょう。Think about whether a small difference stays the same, grows slowly, or suddenly becomes large as time goes on.
2. 初期角を 120° から 30° に小さくすると、分身との分かれ方は変わると思いますか。If the starting angle is reduced from 120° to 30°, do you think the way the twin separates will change?💡 振れ幅が小さいとき、振り子の動きはどんな規則的な運動に近づくでしょうか。When the swing is small, what kind of regular motion does a pendulum's movement resemble?

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「重力 g」9.81 m/s²、「初期角 θ1(0)」120°、「初期差 Δθ」0.001 rad)で「リセット」を押し、青い主役と半透明のピンクの分身を観察する。上の「分身との距離」と「分岐:」の表示、t の値を記録する。見やすくするには「時間倍率」を ×2.00 にしてもよい。In the starting state ("Gravity g" 9.81 m/s², "Start angle θ1(0)" 120°, "Offset Δθ" 0.001 rad), press "Reset" and watch the blue main pendulum and the see-through pink twin. Record "Twin distance", the "Split:" readout and t at the top. You may set "Time speed" to ×2.00 to save time.
2. 「初期差 Δθ」を最小の 1.0e-5 rad(0.00001 rad)と最大の 0.05 rad にして、それぞれ分岐する時刻 t を記録し、0.001 rad のときと比べる。Set "Offset Δθ" to its minimum, 1.0e-5 rad (0.00001 rad), and to its maximum, 0.05 rad. Record the split time t for each and compare it with the 0.001 rad case.
3. Δθ を 0.001 rad に戻し、「初期角 θ1(0)」を 30° にして、分身との距離と軌跡(トレイル)の形を 30 秒以上観察する。Return Δθ to 0.001 rad, set "Start angle θ1(0)" to 30°, and watch the twin distance and the shape of the trail for at least 30 seconds.
4. 初期角を 120° に戻し、「月 1.62」「木星 24.8」のボタンを押してから「リセット」し、振り子の速さと分岐する時刻を「地球 9.81」のときと比べる。Return the start angle to 120°, press "Moon 1.62" or "Jupiter 24.8" and then "Reset". Compare how fast the pendulum moves and when it splits with the "Earth 9.81" case.
5. どの条件でも、上の「E」と「ドリフト」の値が運動中にどう変わるかを確認する。Under every condition, check how the "E" and "Drift" values at the top change during the motion.

3確かめようCheck

1. θ1(0) = 120°、Δθ = 0.001 rad では、主役と分身はいつ頃分かれましたか。分かれる前と後で分身との距離はどうでしたか。With θ1(0) = 120° and Δθ = 0.001 rad, when did the main pendulum and the twin split? What was the twin distance before and after?→ 数秒間はほぼ重なって見え(距離 約 0.001〜0.04 m)、t ≈ 5.6 s で「分岐」と表示された(距離 > 0.2 m)。その後は距離が 1〜3 m 程度まで大きくなり、2台はまったく別の動きになった。For several seconds they looked almost overlapping (distance about 0.001–0.04 m), and "Split" appeared at t ≈ 5.6 s (distance > 0.2 m). After that the distance grew to about 1–3 m and the two moved completely differently.
2. Δθ を 0.00001 rad、0.001 rad、0.05 rad にしたとき、分岐の時刻はどうなりましたか。What were the split times for Δθ = 0.00001 rad, 0.001 rad and 0.05 rad?→ およそ 8.9 s、5.6 s、2.4 s だった。初期差を100分の1にしても分岐が数秒遅れるだけで、差がどれほど小さくてもいずれは大きく分かれる。About 8.9 s, 5.6 s and 2.4 s. Making the initial difference 100 times smaller only delays the split by a few seconds; no matter how small the difference, the two eventually separate widely.
3. θ1(0) = 30° のときはどうでしたか。What happened with θ1(0) = 30°?→ 50 秒たっても分身との距離は 0.003 m 程度のままで、「分岐: まだ(ほぼ重なっている)」が続いた。軌跡も規則的な形に近く、振れ幅が小さいとカオス的なふるまいは現れにくい。Even after 50 seconds the twin distance stayed around 0.003 m and the readout kept saying "Split: not yet (almost overlapping)". The trail also looked fairly regular: with small swings, chaotic behavior hardly appears.
4. 運動中、全エネルギー E とドリフトはどうなっていましたか。g を変えたときは?During the motion, what happened to the total energy E and the drift? What about when g was changed?→ 地球の重力・120° では E = 44.14500 J のまま、ドリフトは ±0.0001 % 未満でほぼ一定だった。月では E ≈ 7.29 J、木星では E ≈ 111.6 J になったが、それぞれ運動中は一定に保たれた。カオスでも力学的エネルギーは保存される。With Earth gravity at 120°, E stayed at 44.14500 J and the drift was below ±0.0001 %, essentially constant. On the Moon E ≈ 7.29 J and on Jupiter E ≈ 111.6 J, but each stayed constant during the motion. Mechanical energy is conserved even in chaos.

4考えようThink further

1. 二重振り子の運動は方程式で完全に決まっているのに、なぜ長い時間先の動きを予測できないのでしょうか。天気予報とも関連づけて考えましょう。The double pendulum's motion is completely determined by its equations, so why can't its motion far into the future be predicted? Relate this to weather forecasting.→ カオス系では初期値のずれがおよそ指数関数的に拡大するため、測定にほんのわずかな誤差があるだけで、ある時間を過ぎると予測と実際が全く異なってしまう。Δθ を100分の1にしても分岐が数秒遅れるだけだったことがその表れである。大気も同様のカオス系なので、天気予報は数日〜2週間程度より先は難しい。In a chaotic system, an initial difference grows roughly exponentially, so even a tiny measurement error makes the prediction and reality completely different after some time. That is why making Δθ 100 times smaller delayed the split by only a few seconds. The atmosphere is a similar chaotic system, so weather forecasts become unreliable beyond a few days to about two weeks.
2. 重力 g を月の値にすると分岐の時刻は約 13.7 s、木星の値にすると(Δθ = 0.00001 rad で)約 5.6 s になりました。g が変わると分岐の時刻が変わるのはなぜでしょうか。With the Moon's gravity the split came at about 13.7 s, and with Jupiter's gravity (Δθ = 0.00001 rad) at about 5.6 s. Why does changing g change the split time?→ 振り子の時間の目安は √(L/g) で決まり、g が大きいほど同じ動きが速く進むから。同じ初期角なら運動の形は同じで、時間の進み方だけが √g 倍になる。地球で 5.6 s だったものは月では 5.6 × √(9.81/1.62) ≈ 13.8 s となり、観察と一致する。The pendulum's natural time scale is √(L/g), so a larger g makes the same motion run faster. For the same starting angle the shape of the motion is the same and only the pace changes, by a factor of √g. The 5.6 s on Earth becomes 5.6 × √(9.81/1.62) ≈ 13.8 s on the Moon, matching what we observed.

よくある誤解Common misconceptions

• 「カオスとは、でたらめ(ランダム)に動くことだ」という誤解。二重振り子は乱数を使わず運動方程式どおりに動く決定論的な系で、同じ初期条件なら必ず同じ動きをする。予測できないのは初期値のわずかな差が急拡大するためである。"Chaos means moving randomly." The double pendulum uses no randomness; it is a deterministic system following its equations of motion, and the same initial conditions always give the same motion. It is unpredictable because tiny initial differences grow rapidly.
• 「初期値の誤差をもっと小さくすれば、いくらでも先まで予測できる」という誤解。誤差を100分の1にしても予測できる時間は数秒延びるだけである。"If we make the initial error small enough, we can predict as far ahead as we like." Making the error 100 times smaller extends the predictable time by only a few seconds.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)