惑星の公転と会合周期Planet Orbits and Synodic Period

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 火星の公転周期は約1.88年です。火星が衝(地球から見て太陽の反対側)になってから次の衝になるまでの時間は、1.88年より長いと思いますか、短いと思いますか。Mars takes about 1.88 years to orbit the Sun. Do you think the time from one opposition of Mars (Mars opposite the Sun as seen from Earth) to the next is longer or shorter than 1.88 years?💡 その間に地球も太陽のまわりを回り続けています。地球と火星のどちらが速く回っているかを考えましょう。Earth keeps moving around the Sun during that time too. Think about which one, Earth or Mars, moves around faster.
2. 公転周期が約11.9年と長い木星と、約1.9年の火星では、地球との会合周期はどちらが長いと思いますか。Jupiter takes about 11.9 years to orbit and Mars about 1.9 years. Which one do you think has the longer synodic period with Earth?💡 地球が相手をもう一度「追い越す」には、相手がどれくらい先に進んでいるかが関係します。For Earth to "lap" the other planet again, it matters how far that planet has moved ahead in the meantime.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(火星(T = 1.881 年)、速度 60 日/秒、「位相線を表示」ON)で図を観察し、地球と火星が同じ向きから出発して地球の方が速く回り、両者を結ぶ位相線の向きが変わっていく様子を確認する。In the starting state (Mars (T = 1.881 years), Speed 60 days/s, "Show phase line" on), watch the diagram: Earth and Mars start in the same direction, Earth moves around faster, and the phase line joining them keeps changing direction.
2. 「速度」スライダーを 365 日/秒まで上げ、「実測(衝から次の衝まで)」の表に記録が増えるのを待つ。「直近の間隔」と「理論値 S = 1/|1/T − 1|」の値を比べ、軌道上に残る◆(衝)と○(合)のマーカーの位置も見る。Raise the "Speed" slider to 365 days/s and wait for records to appear in the "Measured (from one opposition to the next)" table. Compare the "Latest interval" with "Theory: S = 1/|1/T − 1|", and look at where the ◆ (opposition) and ○ (conjunction) markers are left on the orbit.
3. 惑星の選択を「金星(T = 0.615 年)」に変える(経過日数は0に戻る)。「再生」を押し、金星が地球を追い越すたびに内合の記録が増えることと、上の経過表示に出る「内合付近」「外合付近」の位相を確認する。Change the planet to "Venus (T = 0.615 years)" (the elapsed time returns to 0). Press "Play" and check that an inferior conjunction is recorded each time Venus overtakes Earth, and watch for the phases "near inferior conjunction" and "near superior conjunction" in the elapsed-time readout.
4. 同じように「水星(T = 0.24 年)」「木星(T = 11.86 年)」を選び、それぞれ数回分の記録をとって、4つの惑星の理論値と実測値を表にまとめる。In the same way, select "Mercury (T = 0.24 years)" and "Jupiter (T = 11.86 years)", collect a few records for each, and make a table of the theoretical and measured values for all four planets.
5. 「一時停止」で止め、「位相線を表示」をOFF/ONして位相線の有無を確かめる。「リセット」で t = 0 に戻ることも確認する。Stop with "Pause" and turn "Show phase line" off and on to see the line disappear and reappear. Also check that "Reset" returns to t = 0.

3確かめようCheck

1. 火星の衝から次の衝までの実測値はいくらでしたか。理論値と一致しましたか。What was the measured time from one opposition of Mars to the next? Did it match the theoretical value?→ 約 779.8 日(2.135 年)で、理論値 S = 1/(1 − 1/1.881) = 2.135 年と一致した(理論との差 0.00 %)。火星の公転周期 1.881 年より長い。About 779.8 days (2.135 years), matching the theory S = 1/(1 − 1/1.881) = 2.135 years (difference from theory 0.00 %). This is longer than Mars's orbital period of 1.881 years.
2. 金星と水星の内合から次の内合までの間隔はそれぞれいくらでしたか。このとき使われている式はどちらでしたか。What were the intervals from one inferior conjunction to the next for Venus and for Mercury? Which formula was used for them?→ 金星は約 583.5 日(1.597 年)、水星は約 115.3 日(0.316 年)。どちらも内惑星なので惑星の方が速く、1/S = 1/T − 1 の式が表示された。Venus: about 583.5 days (1.597 years); Mercury: about 115.3 days (0.316 years). Both are inner planets, so the planet is faster, and the formula 1/S = 1/T − 1 was shown.
3. 木星の会合周期はいくらでしたか。火星と比べて長いですか、短いですか。What was Jupiter's synodic period? Was it longer or shorter than that of Mars?→ 約 398.9 日(1.092 年)で、火星の約 779.8 日より短く、1年に近い。木星は1年で約 30°(1/T = 0.084 周)しか進まないので、地球はほぼ1年強で追いつく。About 398.9 days (1.092 years), shorter than Mars's 779.8 days and close to one year. Jupiter moves only about 30° per year (1/T = 0.084 of a turn), so Earth catches up in just over a year.
4. 内惑星と外惑星で、どちらが地球より速く公転していましたか。Which moved around the Sun faster than Earth: the inner planets or the outer planets?→ 水星・金星(内惑星)は地球より速く(角速度比 4.167、1.626)、火星・木星(外惑星)は地球より遅かった(0.532、0.084)。Mercury and Venus (inner planets) moved faster than Earth (angular speed ratios 4.167 and 1.626), while Mars and Jupiter (outer planets) moved slower (0.532 and 0.084).

4考えようThink further

1. なぜ内惑星と外惑星で会合周期の式が 1/S = 1/T − 1 と 1/S = 1 − 1/T のように入れ替わるのでしょうか。Why are the formulas swapped for inner and outer planets, 1/S = 1/T − 1 versus 1/S = 1 − 1/T?→ 会合周期は「速い方が遅い方を360°追い越す時間」で、(角速度の差)× S = 360° となる。内惑星は惑星の方が速いので差は 360°/T − 360°/1、外惑星は地球の方が速いので 360°/1 − 360°/T。引く順番が入れ替わるだけで、まとめると S = 1/|1/T − 1| になる。The synodic period is the time for the faster body to gain 360° on the slower one, so (difference in angular speed) × S = 360°. For an inner planet the planet is faster, so the difference is 360°/T − 360°/1; for an outer planet Earth is faster, so it is 360°/1 − 360°/T. Only the order of subtraction changes, and together they give S = 1/|1/T − 1|.
2. 公転周期が1年にとても近い惑星があったとすると、会合周期はどうなるでしょうか。If there were a planet with an orbital period very close to one year, what would its synodic period be like?→ 1/T − 1 が 0 に近くなるので S はとても長くなる。地球とほぼ同じ速さで回るため、なかなか追い越せない。逆に周期が1年から離れるほど(水星や木星)差が開き、外惑星では S は1年に近づく。1/T − 1 becomes close to 0, so S becomes very long: the planet moves at almost the same speed as Earth, so it takes a long time to lap it. Conversely, the farther T is from one year, the bigger the speed difference; for very distant outer planets S approaches one year.

よくある誤解Common misconceptions

• 「会合周期は惑星の公転周期と同じ」という誤解。地球も動いているため、火星では公転周期 1.881 年に対して会合周期は 2.135 年、木星では 11.86 年に対して 1.092 年と大きく異なる。"The synodic period is the same as the planet's orbital period." Because Earth is moving too, they differ greatly: Mars has an orbital period of 1.881 years but a synodic period of 2.135 years, and Jupiter 11.86 years versus 1.092 years.
• 「遠い惑星ほど会合周期も長い」という誤解。外惑星では遠い(遅い)惑星ほど地球が早く追いつくので、会合周期は短くなり1年に近づく(火星 2.135 年 > 木星 1.092 年)。"The farther the planet, the longer the synodic period." For outer planets, the farther (slower) the planet, the sooner Earth catches up, so the synodic period gets shorter and approaches one year (Mars 2.135 years > Jupiter 1.092 years).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)