草原で増えるウサギ：ロジスティック成長と環境収容力Rabbits on a Meadow: Logistic Growth and Carrying Capacity

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 天敵のいない草原に 4 匹のウサギを放しました。草の量には限りがあります。ウサギの数は時間とともにどのように変化すると思いますか。グラフの形を描いてみましょう。Four rabbits are released on a meadow with no predators, but the amount of grass is limited. How do you think the number of rabbits will change over time? Sketch the shape of the graph.💡 ウサギが少ないときと、草原がウサギでいっぱいになったときとで、1匹あたりの増え方は同じでしょうか。Is the growth per rabbit the same when there are only a few rabbits as when the meadow is crowded?
2. ウサギの数が 1 日あたり最も速く増えるのは、数がどのくらいのときだと思いますか。At about what population size do you think the rabbits increase fastest (most rabbits added per day)?💡 増える速さは「親になれる個体の数」と「1匹あたりの増えやすさ」の両方で決まります。The speed of increase depends on both how many rabbits can reproduce and how easily each one reproduces.

2動かしてみようTry it

1. 最初の設定(内因性増加率 r = 0.80 /日、環境収容力 K = 100 匹、初期個体数 P0 = 4 匹、速度 ×1.0)で最後まで動かし、グラフの実線(数えた個体数)、青い破線(理論ロジスティック曲線)、赤い点線(指数成長)を比べる。左の草原で、光る輪(誕生)と薄くなって消える点(密度過剰で消滅)も観察する。With the default settings (Growth rate r = 0.80 /day, Carrying capacity K = 100, Starting population P0 = 4, Speed ×1.0), let the run go to the end and compare the solid line (counted rabbits), the blue dashed line (theoretical logistic curve) and the red dotted line (exponential growth). On the meadow, also watch the glowing rings (births) and the fading dots (deaths from crowding).
2. 途中で「一時停止」を押し、グラフ下の数値表示から P、dP/dt、(dP/dt)/P、r(1−P/K) を読み取る。P が小さいときと K に近いときで (dP/dt)/P がどう違うか比べる。Press "Pause" partway through and read P, dP/dt, (dP/dt)/P and r(1−P/K) in the readout under the graph. Compare (dP/dt)/P when P is small and when P is close to K.
3. グラフの黄色い丸「P=K/2 傾き最大」の位置(時間と個体数)と、そこに引かれた接線の傾きを確認する。Find the yellow dot labeled "P=K/2 steepest" on the graph (its time and population) and look at the slope of the tangent line drawn there.
4. 「環境収容力 K」を 50 匹にして「リセット」を押す(スライダーの変更は「リセット」で反映される)。個体数が頭打ちになる高さと、黄色い丸の位置が K = 100 のときとどう変わるか比べる。Set "Carrying capacity K" to 50 and press "Reset" (slider changes take effect only when you press "Reset"). Compare where the population levels off and where the yellow dot is with the K = 100 run.
5. 「環境収容力 K」を 200 匹、「初期個体数 P0」を 150 匹にして「リセット」を押し、P0 が K/2 より大きいときの曲線の形を観察する。Set "Carrying capacity K" to 200 and "Starting population P0" to 150, press "Reset", and observe the shape of the curve when P0 is larger than K/2.

3確かめようCheck

1. 最初の設定で、個体数は最終的にどのくらいになりましたか。指数成長の点線とはどう違いましたか。With the default settings, about what size did the population end up at? How did it differ from the dotted exponential curve?→ 個体数は K = 100 匹付近で頭打ちになり、その後はおよそ 80〜115 匹の間でゆらぐ。指数成長の点線ははじめは実線や破線とほぼ重なるが、4 日目ごろには K を突き抜けて増え続ける。The population levels off around K = 100 and then fluctuates roughly between 80 and 115. The dotted exponential curve matches the others at first, but by about day 4 it shoots past K and keeps rising.
2. 1個体あたりの増加率 (dP/dt)/P は、P が小さいときと K に近いときでどう違いましたか。How did the per-capita growth rate (dP/dt)/P differ between small P and P close to K?→ P が小さいときは r = 0.8 /日に近い値(P = 21 匹で r(1−P/K) ≈ 0.63 /日)だが、P が K に近づくと 0 に近づき、K を超えるとマイナスになる。When P is small it is close to r = 0.8 /day (r(1−P/K) ≈ 0.63 /day at P = 21), but as P approaches K it drops toward 0, and above K it becomes negative.
3. グラフの傾き(1 日あたりの増加数)が最も大きいのは、個体数がいくつのときでしたか。At what population size was the slope of the graph (rabbits added per day) largest?→ P = K/2 = 50 匹のとき(最初の設定では約 4 日目)。そのときの傾きは rK/4 = 0.8×100÷4 = 20 匹/日。K = 50 にすると K/2 = 25 匹、約 3 日目に移る。At P = K/2 = 50 (around day 4 in the default run). The slope there is rK/4 = 0.8 × 100 ÷ 4 = 20 rabbits per day. With K = 50 it moves to K/2 = 25, at about day 3.
4. P0 = 150 匹、K = 200 匹で始めると、曲線の形はどうなりましたか。When starting with P0 = 150 and K = 200, what shape did the curve have?→ はじめから K/2 を超えているので S 字の前半がなく、増え方は最初が最も速く、しだいにゆるやかになって K = 200 に近づく。グラフには「P0>K/2: 変曲点なし」と表示される。It already starts above K/2, so the first half of the S-curve is missing: growth is fastest at the start and then slows as it approaches K = 200. The graph shows "P0>K/2: no inflection".

4考えようThink further

1. なぜ増加が最も速いのは P = K/2 のときなのでしょうか。dP/dt = rP(1−P/K) を使って説明しましょう。Why is growth fastest at P = K/2? Explain using dP/dt = rP(1−P/K).→ P が小さいと 1 匹あたりの増加率は大きいが親の数が少なく、P が K に近いと親は多いが 1 匹あたりの増加率が 0 に近い。dP/dt = rP(1−P/K) は P の 2 次関数で、P と (K−P) の積が最大になる P = K/2 で最大値 rK/4 をとる。When P is small each rabbit grows fast but there are few parents; when P is near K there are many parents but each one adds almost nothing. dP/dt = rP(1−P/K) is a quadratic in P, proportional to P × (K − P), which is largest at P = K/2, giving the maximum rK/4.
2. 漁業では、魚を「とりすぎない」ように資源量を K/2 くらいに保つのがよいと言われることがあります。このシミュレーションの結果からその理由を考えましょう。In fisheries it is sometimes said that a fish stock should be kept at about K/2 to avoid overfishing. Use what you saw in this simulation to explain why.→ 個体数が K/2 のとき 1 日あたりの増加数が最大(rK/4)になるので、増えた分だけをとれば資源を減らさずに最も多くとり続けられる(最大持続生産量の考え方)。K 付近では増加がほとんどなく、少なすぎると回復が遅い。ただし実際の資源管理はこれほど単純ではない。At K/2 the number added per day is largest (rK/4), so harvesting just that increase gives the largest catch that can be sustained without shrinking the stock (the idea of maximum sustainable yield). Near K there is almost no increase, and at low numbers recovery is slow. Real fisheries management is more complex than this model, though.

よくある誤解Common misconceptions

• 「天敵がいなければ個体数は限りなく増え続ける」と考えがちだが、食物や空間などの資源に限りがあるため、密度効果で増加が止まり環境収容力に落ち着く。Students often think that without predators a population keeps growing forever, but limited resources such as food and space cause density effects that stop the growth at the carrying capacity.
• 「個体数が K に達するとぴたりと止まる」と考えがちだが、実際の個体群では出生と死亡が偶然に左右されるため、K のまわりで上下にゆらぎ続ける。Students often think the population stops exactly at K, but because births and deaths happen by chance, a real population keeps fluctuating up and down around K.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)