単位格子あたりの原子数（BCC/FCC）Atoms per Unit Cell (BCC/FCC)

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 体心立方格子の単位格子の図には球が9個描かれています。この単位格子1つに含まれる原子は何個分だと思いますか。A drawing of a body-centered cubic unit cell shows 9 spheres. How many atoms' worth do you think one unit cell actually contains?💡 結晶では同じ単位格子がすき間なく並んでいます。立方体の頂点にある原子のまわりには、単位格子がいくつ集まっているでしょうか。In a crystal, identical unit cells are packed side by side. How many unit cells meet around an atom at a corner of the cube?

2動かしてみようTry it

1. 「BCC（体心立方）」の状態で「B: 帰属ハイライト」スライダーを 0% にして9個の球全体を見たあと、100% に戻して、単位格子の中に入っている部分（色付き）と外にはみ出した部分（灰色半透明）を見比べる。With "BCC (body-centred cubic)" selected, set the "B: Share highlight" slider to 0% to see all 9 whole spheres, then return it to 100% and compare the parts inside the unit cell (colored) with the parts outside it (grey see-through).
2. 「A: 周囲格子の表示」を 1 シェルにし、★の頂点原子が色分けされた8つの1/8片に分かれ、それぞれが周囲の別々のセル（色付き破線の立方体）に属している様子を観察する。キャンバスをドラッグして視点を回してもよい。Set "A: Show neighbouring cells" to 1 shell and observe how the ★ corner atom splits into 8 colored 1/8 pieces, each belonging to a different neighboring cell (colored dashed cubes). You can drag the canvas to turn the view.
3. 「FCC（面心立方）」を押し、A を 0 シェルに戻して、面心原子（緑）が面で切られた半球になっていることを確かめ、右の「単位格子あたりの原子数（内訳）」の式を記録する。Press "FCC (face-centred cubic)", set A back to 0 shells, check that the face-center atoms (green) are cut into half-spheres by the faces, and record the formula under "Atoms per unit cell (breakdown)".
4. BCC と FCC で、赤破線（接触方向）の位置と、半径・最近接距離・充填率の表示を比べる。「ハイライト再生」を押すと切り分けのアニメーションをもう一度見られる。Compare the red dashed line (touching direction) and the radius, nearest-neighbour distance, and packing fraction readouts for BCC and FCC. Press "Replay highlight" to see the cutting animation again.

3確かめようCheck

1. BCC と FCC の単位格子あたりの原子数は、それぞれどのような式で何個になりましたか。What formulas and totals were shown for the atoms per unit cell of BCC and FCC?→ BCC = 8×(1/8) + 1×1 = 2個、FCC = 8×(1/8) + 6×(1/2) = 4個。BCC = 8×(1/8) + 1×1 = 2 atoms; FCC = 8×(1/8) + 6×(1/2) = 4 atoms.
2. 周囲格子を表示したとき、★の頂点原子はいくつに分けられ、それぞれどこに属していましたか。With the neighboring cells shown, into how many pieces was the ★ corner atom divided, and where did each piece belong?→ 互いに直交する3つのセル面で8つの1/8片（オクタント）に分けられ、それぞれが周囲の8つの別々の単位格子に属していた。そのため1つの単位格子には1/8だけが帰属する。Three cell faces at right angles cut it into 8 pieces of 1/8 (octants), and each piece belonged to a different one of the 8 surrounding unit cells. So only 1/8 of it belongs to any one unit cell.
3. BCC と FCC では、原子どうしが接している方向（赤破線）と原子半径はどうなっていましたか。In BCC and FCC, along which direction (red dashed line) did the atoms touch, and what was the atomic radius?→ BCC は体対角線で接し r = √3a/4 ≈ 0.433a、FCC は面対角線で接し r = a/(2√2) ≈ 0.354a。どちらも辺の方向（隣り合う頂点原子どうし）は接触しない。BCC atoms touch along the body diagonal with r = √3a/4 ≈ 0.433a; FCC atoms touch along the face diagonal with r = a/(2√2) ≈ 0.354a. In both, atoms along an edge (neighboring corner atoms) do not touch.

4考えようThink further

1. もし原子が立方体の辺の中点にあったら、その原子は単位格子に何分の1だけ帰属するでしょうか。If an atom sat at the midpoint of a cube edge, what fraction of it would belong to one unit cell?→ 辺は4つの単位格子に共有されるので 1/4。頂点（8つで共有）1/8、辺（4つ）1/4、面（2つ）1/2、内部（1つ）1 と、共有するセルの数で割ればよい。An edge is shared by 4 unit cells, so 1/4. In general divide by the number of cells sharing the site: corner (8) 1/8, edge (4) 1/4, face (2) 1/2, interior (1) 1.
2. FCC の方が BCC より単位格子あたりの原子数が多く、充填率も 74.0% と BCC の 68.0% より大きいのはなぜでしょうか。Why does FCC have more atoms per unit cell and a higher packing fraction (74.0%) than BCC (68.0%)?→ FCC は6つの面すべての中心に原子があり、原子が面対角線に沿って接するように詰まっている。単位格子の体積 a³ に対して、原子4個ぶんの体積 4×(4/3)πr³ が占める割合が、BCC の2個ぶんより大きくなるため。FCC has atoms at the centers of all six faces, packed so they touch along the face diagonals. The volume of 4 atoms, 4×(4/3)πr³, takes up a larger share of the cell volume a³ than BCC's 2 atoms do.

よくある誤解Common misconceptions

• 「図に描かれた球の数がそのまま単位格子の原子数である」という誤解。頂点や面上の原子は隣の単位格子と共有されるので、BCC は9個描かれていても2個、FCC は14個描かれていても4個である。"The number of spheres drawn is the number of atoms in the unit cell." Atoms on corners and faces are shared with neighboring cells, so BCC has 2 atoms although 9 are drawn, and FCC has 4 although 14 are drawn.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)