観測者が動くドップラー効果Doppler Effect: Moving Observer

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 観測者が静止した音源のそばを一定の速さで通り過ぎるとき、聞こえる音の高さ f′ は時間とともにどう変わると思いますか。グラフの形を予想して描いてみましょう。When an observer passes a stationary sound source at a constant speed, how do you think the heard frequency f′ changes over time? Sketch the shape of the graph you expect.💡 観測者の速度のうち「音源に向かう向きの成分」は、通過の前・最接近の瞬間・通過の後でそれぞれどうなっているでしょうか。Think about the part of the observer's velocity that points toward the source: what is it before passing, at the moment of closest approach, and after passing?
2. 観測者が音源に近づくときに上がる音の高さと、遠ざかるときに下がる音の高さは、同じ幅だと思いますか。Do you think the rise in pitch while approaching the source is the same size as the drop in pitch while moving away?💡 音源が動かないとき、波面の間隔(波長)は場所によって変わるでしょうか。When the source does not move, does the spacing of the wavefronts (the wavelength) depend on where you are?

2動かしてみようTry it

1. 初期設定(v_o/u = 0.50、f0 = 440 Hz、d = 120)で「リセット」を押し、上図で波面が音源を中心とする等間隔の円として広がること、観測者(緑の点)の白い速度矢印と桃色の「音源方向成分」矢印を観察する。With the default settings (v_o/u = 0.50, f0 = 440 Hz, d = 120), press "Reset" and watch the top view: the wavefronts spread as evenly spaced circles centered on the source, and the observer (green dot) has a white velocity arrow and a pink "toward source" component arrow.
2. 観測者が走る間、右上の表示の f′ と「ds/dt ÷ u」を、走り始め・「最接近」付近・走り終わりで読み取る(「一時停止」で止めると読みやすい)。下のグラフの曲線が最接近の時刻に f0 の線を横切ることを確かめる。As the observer moves, read f′ and "ds/dt ÷ u" in the display at the upper right at the start, near "Closest", and at the end (use "Pause" to freeze it). Check that the curve in the graph below crosses the f0 line at the moment of closest approach.
3. 「d」スライダーを 0 にして「リセット」し、最後まで走らせてグラフの形を見る。次に d を 250 にして、グラフの形を比べる。Set the "d" slider to 0, press "Reset", and let the observer run to the end to see the graph shape. Then set d to 250 and compare the graph shape.
4. 「v_o/u」を 0.80 に上げ、グラフの破線 f0(1+v_o/u) と f0(1−v_o/u) の位置がどう変わるかを見る。「音を鳴らす」を押して、実際の音の高さの変化も聞いてみる。Raise "v_o/u" to 0.80 and see how the dashed lines f0(1+v_o/u) and f0(1−v_o/u) in the graph move. Press "Play sound" to hear the actual change in pitch.

3確かめようCheck

1. v_o/u = 0.50、f0 = 440 Hz、d = 120 のとき、走り始め・最接近・走り終わりで f′ はいくつでしたか。With v_o/u = 0.50, f0 = 440 Hz and d = 120, what was f′ at the start, at closest approach, and at the end?→ 走り始め(1秒後)で約 650 Hz、最接近付近で約 440 Hz(ds/dt ≈ 0 なのでちょうど f0)、終わり近くで約 230 Hz。近づき中は f′ > f0、遠ざかり中は f′ < f0 と表示された。About 650 Hz near the start (after 1 s), about 440 Hz near closest approach (exactly f0, since ds/dt ≈ 0), and about 230 Hz near the end. The display said f′ > f0 while approaching and f′ < f0 while moving away.
2. f0 からの上へのずれと下へのずれは同じ大きさでしたか。Were the upward and downward shifts from f0 the same size?→ 同じだった。遠くでは f0(1 + v_o/u) = 660 Hz と f0(1 − v_o/u) = 220 Hz に近づき、どちらも f0 から 220 Hz ずれる。グラフは最接近の点を中心に点対称な形になった。Yes. Far away the frequency approaches f0(1 + v_o/u) = 660 Hz and f0(1 − v_o/u) = 220 Hz, both 220 Hz away from f0. The graph is point-symmetric about the moment of closest approach.
3. d = 0 と d = 250 では、グラフの形はどう違いましたか。How did the graph shape differ between d = 0 and d = 250?→ d = 0(音源の真上を通過)では 660 Hz の一定値から最接近の瞬間に一気に 220 Hz に切り替わる段差(台形)の形になった。d = 250 では、なだらかな S 字のカーブになった。d が大きいほど変化がゆるやかになる。At d = 0 (passing straight through the source) the frequency stays at 660 Hz and then switches suddenly to 220 Hz at closest approach, a step shape. At d = 250 it became a smooth S-shaped curve. The larger d is, the more gradual the change.
4. 観測者が動いているとき、上図の波面の間隔は音源の前後で変わりましたか。While the observer was moving, did the spacing of the wavefronts in the top view change on different sides of the source?→ 変わらなかった。音源が静止しているので、波面はどの方向にも同じ間隔 λ = uT0 の同心円のままで、変わるのは観測者が波面に出会う頻度だけである。No. Because the source is at rest, the wavefronts remain concentric circles with the same spacing λ = uT0 in every direction; only how often the observer meets wavefronts changes.

4考えようThink further

1. 観測者が音源に向かって近づくと、なぜ振動数が高く聞こえるのでしょうか。波長は変わらないことを使って説明しましょう。Why does the frequency sound higher when the observer approaches the source? Explain using the fact that the wavelength does not change.→ 観測者から見た波面の近づく速さは、音速 u に観測者が音源へ向かう速さ(−ds/dt)を加えた u − ds/dt になる。波長 λ は変わらないので、1秒間に出会う波面の数は f′ = (u − ds/dt)/λ = f0(1 − (ds/dt)/u) と増える。遠ざかるときは逆に減る。Relative to the observer, wavefronts arrive at speed u plus the observer's speed toward the source (−ds/dt), that is u − ds/dt. Since the wavelength λ does not change, the number of wavefronts met per second becomes f′ = (u − ds/dt)/λ = f0(1 − (ds/dt)/u), which is larger. Moving away, it is smaller.
2. 音源が動く場合(f′ = f0·u/(u ∓ v))と比べて、このシミュレーションの結果はどこが違うでしょうか。Compared with a moving source (f′ = f0 u/(u ∓ v)), how is the result of this simulation different?→ 音源が動く場合は波面そのものが前方で詰まり後方で広がるため、近づくときの上昇の方が遠ざかるときの下降より大きい非対称になる。観測者が動く場合は波面は変わらず、f′ は v_o に比例して上下に同じだけずれる(対称)。同じ速さでも「どちらが動くか」で結果が異なる。With a moving source the wavefronts themselves bunch up in front and spread out behind, so the rise while approaching is larger than the drop while receding (asymmetric). With a moving observer the wavefronts do not change, and f′ shifts up and down by the same amount in proportion to v_o (symmetric). Even at the same speed, the result depends on which one moves.

よくある誤解Common misconceptions

• 「観測者が動くと、音源から出る音の波長も変わる」という誤解。音源が静止していれば波面は等間隔の同心円のままで、変わるのは観測者が波面に出会う回数だけである。"If the observer moves, the wavelength of the sound changes." If the source is at rest, the wavefronts stay as evenly spaced circles; only the rate at which the observer meets them changes.
• 「通り過ぎる瞬間に音の高さが急に下がる」という誤解。真上を通る(d = 0)とき以外は、f′ は最接近の瞬間に f0 をなめらかに横切り、少しずつ下がる。"The pitch drops suddenly at the moment of passing." Except when passing straight through (d = 0), f′ crosses f0 smoothly at closest approach and falls gradually.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)