T-s図で見るカルノーサイクルCarnot Cycle on a T-s Diagram

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 縦軸が温度 T、横軸がエントロピー s のグラフに、等温過程と断熱過程（熱の出入りがない可逆過程）をかくと、それぞれどんな向きの線になると思いますか。On a graph with temperature T on the vertical axis and entropy s on the horizontal axis, what direction of line do you think an isothermal process and an adiabatic process (a reversible process with no heat flow) will each make?💡 可逆過程では熱の出入りとエントロピー変化の間に ΔS = Q/T の関係がある。等温では何が一定か、Q = 0 なら ΔS はどうなるか考えよう。For a reversible process, heat and entropy change are related by ΔS = Q/T. Think about what stays constant in an isothermal process, and what ΔS is when Q = 0.
2. 低温熱源の温度 T_c を高温熱源の温度 T_h に近づけていくと、1周でする仕事と効率はどうなると思いますか。As the cold-reservoir temperature T_c is brought closer to the hot-reservoir temperature T_h, what do you think happens to the work per cycle and the efficiency?💡 T-s図の長方形の縦の長さが何を表すかに注目しよう。Focus on what the height of the rectangle on the T-s diagram represents.

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（高温熱源 T_h = 600 K、低温熱源 T_c = 300 K、1周のエントロピー変化 ΔS = 2.0 J/K）で再生し、状態点が ①等温膨張→②断熱膨張→③等温圧縮→④断熱圧縮 と動く向きと線の形を観察する。必要なら「一時停止」で止める。With the initial settings (Hot reservoir T_h = 600 K, Cold reservoir T_c = 300 K, Entropy change per cycle ΔS = 2.0 J/K), let it play and watch the direction the state point moves and the line shapes through ① Isothermal expansion → ② Adiabatic expansion → ③ Isothermal compression → ④ Adiabatic compression. Use "Pause" to stop it if needed.
2. ①と③のときに敷かれる赤い帯・青い帯と、そのときの「吸熱中」「放熱中」の表示、②④での「Q = 0」の表示を確認する。表の Q_in、Q_out、W の値を記録する。During ① and ③, look at the red and blue bands and the "Absorbing heat" / "Releasing heat" readouts; during ② and ④, look at the "Q = 0" readout. Record Q_in, Q_out and W from the table.
3. 「効率を2通りで計算」の η = 1 − Tc/Th と η = 1 − Qout/Qin の値を比べる。Compare the two values in "Efficiency, calculated two ways": η = 1 − Tc/Th and η = 1 − Qout/Qin.
4. 低温熱源 T_c のスライダーを右いっぱい（570 K）まで動かし、長方形の形・W・η の変化を見る。次に T_h = 900 K、T_c = 300 K、ΔS = 4.0 J/K にして、値がどう変わるか調べる。Drag the Cold reservoir T_c slider all the way right (570 K) and watch how the rectangle, W and η change. Then set T_h = 900 K, T_c = 300 K and ΔS = 4.0 J/K and see how the values change.

3確かめようCheck

1. 4つの過程は T-s図でそれぞれどんな線になりましたか。What kind of line did each of the four processes make on the T-s diagram?→ ①等温膨張は T = 600 K の水平線で s が 0.5 → 2.5 J/K に増え、②断熱膨張は s = 2.5 J/K の垂直線で T が 600 → 300 K に下がり、③等温圧縮は T = 300 K の水平線で s が減り、④断熱圧縮は s = 0.5 J/K の垂直線で T が上がって A にもどった。全体で長方形 ABCD になり、時計回りに回る。① Isothermal expansion was a horizontal line at T = 600 K with s rising from 0.5 to 2.5 J/K; ② Adiabatic expansion was a vertical line at s = 2.5 J/K with T falling from 600 to 300 K; ③ Isothermal compression was a horizontal line at T = 300 K with s falling; ④ Adiabatic compression was a vertical line at s = 0.5 J/K with T rising back to A. Together they form rectangle ABCD, traversed clockwise.
2. T_h = 600 K、T_c = 300 K、ΔS = 2.0 J/K のとき、Q_in、Q_out、W はいくらでしたか。With T_h = 600 K, T_c = 300 K and ΔS = 2.0 J/K, what were Q_in, Q_out and W?→ Q_in = 600×2.0 = 1200 J（赤い帯の面積）、Q_out = 300×2.0 = 600 J（青い帯の面積）、W = 300×2.0 = 600 J（緑の長方形の面積）で、W = Q_in − Q_out になっている。断熱過程では「Q = 0」と表示され、帯は敷かれなかった。Q_in = 600×2.0 = 1200 J (area of the red band), Q_out = 300×2.0 = 600 J (area of the blue band) and W = 300×2.0 = 600 J (area of the green rectangle), so W = Q_in − Q_out. During the adiabatic processes the readout showed "Q = 0" and no band was drawn.
3. 2通りの式で計算した効率は一致しましたか。Did the efficiencies calculated with the two formulas agree?→ 一致した。600 K・300 K では η = 1 − 300/600 = 50.00 %、η = 1 − 600/1200 = 50.00 %。900 K・300 K・ΔS = 4.0 J/K では Q_in = 3600 J、Q_out = 1200 J、W = 2400 J で、どちらの式でも 66.67 % になった。Yes. At 600 K and 300 K, η = 1 − 300/600 = 50.00 % and η = 1 − 600/1200 = 50.00 %. At 900 K, 300 K and ΔS = 4.0 J/K, Q_in = 3600 J, Q_out = 1200 J and W = 2400 J, and both formulas gave 66.67 %.
4. T_c を T_h に近づけると、どうなりましたか。What happened as T_c approached T_h?→ 長方形の高さが小さくなって薄くなり、W と η が連続的に小さくなった。T_h = 600 K で T_c は 570 K（T_h − 30 K）までしか上げられず、そのとき W = 60 J、η = 5.00 % だった。T_c → T_h の極限では W = 0、η = 0 % になる。The rectangle got shorter and thinner, and W and η decreased smoothly. With T_h = 600 K, T_c could only be raised to 570 K (T_h − 30 K), giving W = 60 J and η = 5.00 %. In the limit T_c → T_h, W = 0 and η = 0 %.

4考えようThink further

1. 2つの効率の式 1 − Q_out/Q_in と 1 − T_c/T_h が必ず一致するのはなぜですか。また、ΔS を変えると効率はどうなりますか。Why do the two efficiency formulas 1 − Q_out/Q_in and 1 − T_c/T_h always agree? And what happens to the efficiency when ΔS is changed?→ Q_out/Q_in = (T_c×ΔS)/(T_h×ΔS) = T_c/T_h と ΔS が約分されるから。ΔS を大きくすると長方形が横に広がって Q_in、Q_out、W はすべて同じ割合で大きくなるが、効率は熱源の温度だけで決まり変わらない。Because Q_out/Q_in = (T_c×ΔS)/(T_h×ΔS) = T_c/T_h — ΔS cancels. Making ΔS larger widens the rectangle so Q_in, Q_out and W all grow by the same factor, but the efficiency depends only on the reservoir temperatures and does not change.
2. 1周で気体のエントロピーの変化はいくらですか。熱を受け取った分をすべて仕事にできない理由を T-s図を使って説明しよう。What is the gas's entropy change over one full cycle? Use the T-s diagram to explain why the heat absorbed cannot all be turned into work.→ 1周で状態Aにもどるので気体のエントロピー変化は0。等温膨張で増えたエントロピー ΔS を元にもどすには、どこかで ΔS だけ減らす必要があり、それは熱を捨てること（Q_out = T_c×ΔS）でしかできない。T_c > 0 なので Q_out > 0 となり、Q_in の全部を仕事にはできない（熱力学第二法則）。The gas returns to state A, so its entropy change over one cycle is 0. The entropy ΔS gained during isothermal expansion must be removed somewhere, and the only way is to release heat (Q_out = T_c×ΔS). Since T_c > 0, Q_out > 0, so not all of Q_in can become work (the second law of thermodynamics).

よくある誤解Common misconceptions

• 「断熱過程では温度が変わるのでエントロピーも変わる」→ 可逆な断熱過程では Q = 0 なのでエントロピーは一定で、T-s図では垂直線になる。"In an adiabatic process the temperature changes, so the entropy must change too." In a reversible adiabatic process Q = 0, so the entropy stays constant and the line on the T-s diagram is vertical.
• 「ΔS（気体の量や膨張の大きさ）を大きくすれば効率も上がる」→ 仕事も熱も同じ割合で増えるだけで、効率は 1 − T_c/T_h で温度だけで決まる。"Making ΔS (a bigger expansion or more gas) larger raises the efficiency." Work and heat just grow in the same proportion; the efficiency 1 − T_c/T_h depends only on the temperatures.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)