ニュートンの大砲：脱出速度と軌道Newton's Cannon: Escape Velocity and Orbits

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 山の上の大砲から弾丸を水平に打ち出す。発射速度をどんどん大きくしていくと、弾丸の進み方はどのように変わっていくと思いますか。順に予想して図にかいてみよう。A cannon on a mountaintop fires a ball horizontally. As the launch speed is made larger and larger, how do you think the ball's path will change? Sketch your predictions in order.💡 地球は丸い。弾丸が落ちる間に、地面のほうも弾丸の下で曲がって「遠ざかって」いくことを考えよう。The Earth is round. While the ball falls, think about how the ground also curves away beneath it.
2. 惑星から完全に飛び去るのに必要な速さ（脱出速度）は、円軌道を回る速さの何倍くらいだと思いますか。Roughly how many times the circular-orbit speed do you think the speed needed to leave the planet for good (the escape velocity) is?💡 円軌道の速さは「引力＝向心力」、脱出速度は「運動エネルギー＋位置エネルギー＝0」の条件から求められる。The circular speed comes from "gravity = centripetal force"; the escape speed comes from "kinetic energy + potential energy = 0".

2動かしてみようTry it

1. 「発射高度 r₀（惑星中心から）」が1.15Rのまま、右のパネルで「円軌道速度 v_circ」と「脱出速度 v_esc」の値を記録する。最初に自動で発射された軌道の「分類」も確認する。With "Launch height r₀ (from planet center)" left at 1.15R, record the "Circular orbit speed" v_circ and "Escape velocity" v_esc shown in the panel. Also check the "Type" of the shot that was fired automatically at the start.
2. プリセットの「0.9×v_circ」「v=v_circ」「1.3×v_circ」「v=v_esc」「1.3×v_esc」を順に押して発射する。軌跡は残るので、「発射記録」と画面の色分けで軌道の形を比べる（「クリア」で軌跡を消せる）。Press the presets "0.9×v_circ", "v=v_circ", "1.3×v_circ", "v=v_esc" and "1.3×v_esc" in turn. The trails stay on screen, so compare the orbit shapes using the colors and the "Shot log" ("Clear" erases the trails).
3. 「1.3×v_circ」の楕円軌道で、惑星中心（F₁）・もう一方の焦点（F₂）・近点・遠点の位置を確認し、左下のグラフ「焦点距離 r(t)」で距離が周期的に変化する様子を見る。必要なら「シミュレーション速度」を下げる。On the "1.3×v_circ" ellipse, find the planet center (F₁), the other focus (F₂), the periapsis and the apoapsis, and watch the lower-left graph "Distance to focus r(t)" rise and fall periodically. Lower the "Simulation speed" if needed.
4. 「発射高度 r₀」を2.00Rにして、v_circ と v_esc の値がどう変わるか記録する。次に「発射速度 v」を約0.85×v_circ（0.60×v_esc）にして発射し、「分類」を確認する。Set "Launch height r₀" to 2.00R and record how v_circ and v_esc change. Then set "Launch speed v" to about 0.85×v_circ (0.60×v_esc), fire, and check the "Type".

3確かめようCheck

1. r₀＝1.15Rのとき、v_circ と v_esc はそれぞれ何 km/s でしたか。比はいくらですか。At r₀ = 1.15R, what were v_circ and v_esc in km/s? What is their ratio?→ v_circ ≈ 7.38 km/s、v_esc ≈ 10.43 km/s。v=v_esc のとき表示は「1.414×v_circ」で、v_esc＝√2·v_circ になっている。v_circ ≈ 7.38 km/s and v_esc ≈ 10.43 km/s. At v = v_esc the display reads "1.414×v_circ", so v_esc = √2·v_circ.
2. 各プリセットの「分類」はどうなりましたか。What "Type" did each preset give?→ 0.9×v_circ は「落下（地表に衝突）」、v=v_circ は「円軌道」（距離 r は1.150Rのまま、周期 約104分）、1.3×v_circ は「楕円軌道（発射点が近点）」、v=v_esc は「脱出（放物線）」、1.3×v_esc は「脱出（双曲線）」になった。0.9×v_circ: "Falls (hits the surface)"; v=v_circ: "Circular orbit" (r stays at 1.150R, period about 104 min); 1.3×v_circ: "Elliptical orbit (launch point = periapsis)"; v=v_esc: "Escape (parabola)"; 1.3×v_esc: "Escape (hyperbola)".
3. 1.3×v_circ の楕円軌道で、惑星中心はどこにありましたか。近点と遠点の距離はいくらでしたか。On the 1.3×v_circ ellipse, where was the planet's center? What were the periapsis and apoapsis distances?→ 惑星中心は楕円の中心ではなく焦点 F₁ にあり、反対側にもう一方の焦点 F₂ がある。近点は発射点の r=1.15R、遠点は r≈6.27R で、離心率 e≈0.69、周期 約603分。r(t) のグラフは1.15Rと6.27Rの間を周期的に往復する。The planet's center sits at focus F₁, not at the center of the ellipse, with the other focus F₂ on the far side. The periapsis is the launch point, r = 1.15R, and the apoapsis is r ≈ 6.27R (eccentricity e ≈ 0.69, period about 603 min). The r(t) graph swings periodically between 1.15R and 6.27R.
4. r₀＝2.00Rにすると v_circ と v_esc はどう変わりましたか。そこで0.85×v_circ で打つとどうなりましたか。At r₀ = 2.00R, how did v_circ and v_esc change? What happened when you fired at 0.85×v_circ there?→ v_circ ≈ 5.59 km/s、v_esc ≈ 7.91 km/s に小さくなった（どちらも 1/√r₀ に比例）。0.85×v_circ でも地表に届かず、「楕円軌道（発射点が遠点）」になった（離心率 約0.28）。They became smaller: v_circ ≈ 5.59 km/s and v_esc ≈ 7.91 km/s (both proportional to 1/√r₀). At 0.85×v_circ the shot did not reach the surface and became an "Elliptical orbit (launch point = apoapsis)" (eccentricity about 0.28).

4考えようThink further

1. 円軌道速度 v_circ=√(GM/r₀) と脱出速度 v_esc=√(2GM/r₀) を、運動方程式とエネルギー保存から導いてみよう。なぜ v_esc は v_circ の√2倍になるのか。Derive v_circ = √(GM/r₀) and v_esc = √(2GM/r₀) from the equation of motion and energy conservation. Why is v_esc exactly √2 times v_circ?→ 円運動では mv²/r₀ = GMm/r₀² より v_circ=√(GM/r₀)。脱出は無限遠で速さ0になる条件 ½mv² − GMm/r₀ = 0 より v_esc=√(2GM/r₀)。円軌道の運動エネルギーは ½mv_circ² = GMm/(2r₀) で、脱出に必要な GMm/r₀ のちょうど半分なので、速さは√2倍あればよい。For circular motion, mv²/r₀ = GMm/r₀² gives v_circ = √(GM/r₀). Escape means the speed just reaches zero at infinity: ½mv² − GMm/r₀ = 0 gives v_esc = √(2GM/r₀). The kinetic energy in a circular orbit, ½mv_circ² = GMm/(2r₀), is exactly half of the GMm/r₀ needed to escape, so the speed must be √2 times larger.
2. 楕円軌道で、弾丸は近点と遠点のどちらで速く動いていましたか。ケプラーの法則と結びつけて説明しよう。On an elliptical orbit, was the ball faster at periapsis or apoapsis? Explain using Kepler's laws.→ 近点付近で速く、遠点付近でゆっくり動く。万有引力は中心力なので角運動量（面積速度）が一定に保たれ（ケプラーの第2法則）、距離 r が小さいほど速さが大きくなる。また、軌道が焦点に惑星をもつ楕円になること自体が第1法則である。It moves fast near periapsis and slowly near apoapsis. Gravity is a central force, so angular momentum (areal velocity) is conserved (Kepler's second law), and a smaller r means a larger speed. The fact that the orbit is an ellipse with the planet at a focus is Kepler's first law.

よくある誤解Common misconceptions

• 「人工衛星は重力がはたらかないので落ちない」→ 衛星は常に惑星に向かって落ち続けているが、横向きの速さが十分大きいので地面が曲がって離れていき、地表に届かない。"Satellites stay up because there is no gravity in orbit." A satellite is always falling toward the planet, but its sideways speed is so large that the curved surface keeps falling away beneath it.
• 「楕円軌道では惑星は楕円の中心にある」→ 惑星の中心は楕円の焦点の1つ（F₁）にあり、中心からずれている。"In an elliptical orbit the planet is at the center of the ellipse." The planet's center is at one focus (F₁), offset from the ellipse's center.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)