ばね振り子レースSpring Oscillator Race

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じばね（k = 20 N/m）に 0.50 kg と 1.00 kg の台車をつけて同時に振動させます。質量を2倍にすると、1往復にかかる時間（周期）は何倍になると思いますか。Carts of 0.50 kg and 1.00 kg are attached to identical springs (k = 20 N/m) and released together. If the mass is doubled, by what factor do you think the time for one round trip (the period) changes?💡 重いほど動かしにくいが、周期が質量に「比例」するとは限らない。T の式の形に注目しよう。A heavier cart is harder to accelerate, but that does not mean the period is simply proportional to the mass. Look at the form of the formula for T.
2. 振幅（ゆらす幅）を大きくすると、周期は長くなる・短くなる・変わらない、のどれだと思いますか。If the amplitude (how far it swings) is made larger, do you think the period gets longer, shorter, or stays the same?💡 振幅を大きくすると進む距離は長くなるが、ばねが引きもどす力 F = −kx も大きくなる。A larger amplitude means a longer distance to travel, but the restoring force F = −kx also becomes larger.

2動かしてみようTry it

1. 初期状態のレース（#1: 0.50 kg・20 N/m、#2: 1.00 kg・20 N/m、#3: 0.50 kg・50 N/m、#4: 2.00 kg・10 N/m）を見て、「周期の比較（理論値 vs 過零点測定）」の表と「レース記録」で着順と T理論・T実測を読む。Watch the race in its starting state (#1: 0.50 kg, 20 N/m; #2: 1.00 kg, 20 N/m; #3: 0.50 kg, 50 N/m; #4: 2.00 kg, 10 N/m), and read the order and T theory / T meas. in the “Period comparison (theory vs. zero-crossing measurement)” table and the “Race record”.
2. #1 と #2（k が同じで m が2倍）、#1 と #3（m が同じで k が2.5倍）の T理論を比べる。Compare T theory for #1 and #2 (same k, m doubled) and for #1 and #3 (same m, k 2.5 times).
3. 「#4」ボタンを押して選択し、「バネ定数 k（選択中）」スライダーを 10 から 40 N/m に上げる。台車の動きがなめらかにつながること、#4 の周期が #2 と同じになることを確かめる。Press the “#4” button to select it and raise the “Spring constant k (selected)” slider from 10 to 40 N/m. Check that the cart's motion continues smoothly and that #4's period becomes the same as #2's.
4. 「振幅 A（全振り子共通）」を 0.20 m から 0.05 m に変え、表の T実測と、キャンバス下部の積分区間（実線 A・破線 A/2）、「等時性チェック」の値を比べる。Change “Amplitude A (same for all)” from 0.20 m to 0.05 m and compare T meas. in the table, the integration strip at the bottom of the canvas (solid line A, dashed line A/2) and the “Isochronism check” values.
5. 必要なら「シミュレーション速度」を 0.25 倍程度に下げ、t = 0 で台車が x = +A（右端）から静かに動き出すようすを「リセット（t=0）」で確かめる。If needed, lower “Simulation speed” to about 0.25× and press “Reset (t=0)” to see each cart start from rest at x = +A (the right end).

3確かめようCheck

1. #1（0.50 kg）と #2（1.00 kg）の周期はそれぞれ何秒で、何倍の関係ですか。What are the periods of #1 (0.50 kg) and #2 (1.00 kg), and what is their ratio?→ #1 は約 0.993 s、#2 は約 1.405 s で、約 1.41 倍（√2 倍）。質量を2倍にしても周期は2倍ではなく √2 倍になる。#1 is about 0.993 s and #2 is about 1.405 s, a ratio of about 1.41 (√2). Doubling the mass makes the period √2 times longer, not twice as long.
2. ばね定数を大きくすると周期はどうなりますか。#1 と #3 で確かめよう。What happens to the period when the spring constant increases? Check with #1 and #3.→ 短くなる。k = 20 N/m の #1 は約 0.993 s、k = 50 N/m の #3 は約 0.628 s で、#3 がレースでいつも1着になる。It gets shorter. #1 with k = 20 N/m has about 0.993 s and #3 with k = 50 N/m has about 0.628 s, so #3 always finishes first in the race.
3. #4 を 2.00 kg・40 N/m にすると周期はいくらになりましたか。それはなぜですか。When #4 was set to 2.00 kg and 40 N/m, what was its period, and why?→ 約 1.405 s で #2（1.00 kg・20 N/m）と同じになった。m/k がどちらも 0.05 で等しいので、T = 2π√(m/k) も等しくなる。About 1.405 s, the same as #2 (1.00 kg, 20 N/m). Both have the same m/k = 0.05, so T = 2π√(m/k) is the same.
4. 振幅を 0.20 m から 0.05 m にすると、周期はどうなりましたか。When the amplitude was changed from 0.20 m to 0.05 m, what happened to the period?→ 変わらなかった。T実測は理論値と一致したままで、等時性チェックでも A と A/2 の周期が同じ（差は 10⁻¹² s 程度の計算誤差）だった。It did not change. T meas. stayed equal to the theoretical value, and the isochronism check also showed the same period for A and A/2 (differences only about 10⁻¹² s, rounding error).

4考えようThink further

1. 振幅を大きくすると進む距離が長くなるのに、周期が変わらないのはなぜでしょうか。Why does the period stay the same even though a larger amplitude means a longer distance to travel?→ 復元力 F = −kx が変位に比例するため、振幅を2倍にすると各位置での力と加速度も2倍になり、速さも全体に2倍になる。距離が2倍でも速さも2倍なので、1往復にかかる時間は同じになる。Because the restoring force F = −kx is proportional to the displacement, doubling the amplitude doubles the force and acceleration at corresponding points, so the speed is doubled everywhere. Twice the distance at twice the speed takes the same time.
2. 重さを量るのに、ばね振り子の周期を使う方法（宇宙ステーションでの体重測定など）が考えられます。なぜ周期から質量がわかるのでしょうか。The period of a spring oscillator can be used to measure mass (for example, “weighing” astronauts on a space station). Why does the period tell us the mass?→ T = 2π√(m/k) より m = kT²/(4π²) で、ばね定数 k がわかっていれば周期 T を測るだけで質量が決まる。この式には重力加速度 g が含まれないので、無重量の環境でも使える。From T = 2π√(m/k), m = kT²/(4π²), so if k is known, measuring T gives the mass. The formula does not contain g, so it works even in weightlessness.

よくある誤解Common misconceptions

• 大きくゆらすほど1往復に時間がかかる。→ ばね振り子の周期は振幅によらない（等時性）。The bigger the swing, the longer one round trip takes. → The period of a spring oscillator does not depend on amplitude (isochronism).
• 質量が2倍なら周期も2倍。→ 周期は √m に比例するので、質量2倍で周期は約1.41倍。Doubling the mass doubles the period. → The period is proportional to √m, so doubling the mass makes it about 1.41 times longer.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)