滑りやすい回転台のコインCoins on a Slippery Turntable

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 回転台の中心から近い・中くらい・遠い位置にコインを置き、回転をだんだん速くします。どのコインが最初に滑り出すと思いますか。Coins are placed near, midway and far from the center of a turntable, and the rotation is gradually sped up. Which coin do you think slips first?💡 同じ角速度で回るとき、外側のコインと内側のコインでは1回転で進む距離（速さ）が違う。円運動を続けるのに必要な力はどうなるだろう。At the same angular speed, inner and outer coins travel different distances per turn (different speeds). What does that mean for the force needed to keep each one moving in a circle?
2. 滑り出したコインは、台の上から見るとどう動くと思いますか。また、真上（地面）から見るとどう動くと思いますか。Once a coin starts to slip, how do you think it moves as seen from the table? And as seen from above (the ground frame)?💡 滑った瞬間、コインを中心に引っぱっていた力はどうなるか。力が働かない物体はどう運動するだろう。At the moment it slips, what happens to the force that was pulling the coin toward the center? How does an object move when no net force acts on it?

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（角速度 ω 2.00 rad/s、静止摩擦係数 μ 0.30、質量 m 0.050 kg）で「開始」を押し、表の F_req と F_max、各コインのバーを比べる。With the defaults (Angular speed ω 2.00 rad/s, Static friction μ 0.30, Mass m 0.050 kg), press “Start” and compare F_req and F_max in the table and on each coin's bar.
2. 「ω自動上昇」を押して ω をゆっくり上げ、C → B → A の順に滑り出すようすと、表の下に出る「ω=… rad/s で滑り始めた」の記録を読む。Press “Ramp up ω” to raise ω slowly. Watch the coins slip in the order C → B → A and read the “started slipping at ω=… rad/s” record shown under the table.
3. 滑ったコインの軌跡（破線）と速度の矢印を見て、台と一緒に回っているか、どちらへ進むかを観察する。Look at the dashed path and velocity arrow of a slipping coin: does it keep turning with the table, and which way does it go?
4. 「リセット」を押して ω を 2.00 rad/s に戻し、「質量 m」を 0.100 kg に、次に「静止摩擦係数 μ」を 0.60 にして、表の F_req・F_max・ω_c=√(μg/r) の変化を比べる。Press “Reset”, set ω back to 2.00 rad/s, then set “Mass m” to 0.100 kg and later “Static friction μ” to 0.60, comparing how F_req, F_max and ω_c=√(μg/r) in the table change.
5. コインをドラッグして半径を変え、F_req の数値と ω_c がどう変わるか確かめる。Drag a coin to change its radius and check how its F_req value and ω_c change.

3確かめようCheck

1. μ = 0.30 で ω をゆっくり上げたとき、A（r = 0.20 m）、B（r = 0.35 m）、C（r = 0.50 m）はそれぞれ何 rad/s で滑り始めましたか。With μ = 0.30 and ω raised slowly, at what ω did A (r = 0.20 m), B (r = 0.35 m) and C (r = 0.50 m) start to slip?→ C が約 2.42 rad/s、B が約 2.90 rad/s、A が約 3.83 rad/s で、外側のコインほど先に滑った。いずれも √(μg/r) の値と一致する。C at about 2.42 rad/s, B at about 2.90 rad/s and A at about 3.83 rad/s: the farther out, the sooner it slipped. Each matches √(μg/r).
2. ω = 2.00 rad/s のとき、C の F_req は A の何倍ですか。ω を 2 倍にすると F_req はどうなりますか。At ω = 2.00 rad/s, how many times A's F_req is C's? What happens to F_req if ω is doubled?→ A が 0.040 N、C が 0.100 N で、半径に比例して 2.5 倍。F_req = mω²r なので ω を 2 倍にすると 4 倍になる。A is 0.040 N and C is 0.100 N, 2.5 times, in proportion to the radius. Since F_req = mω²r, doubling ω makes it 4 times larger.
3. 質量 m を 0.050 kg から 0.100 kg にすると、F_req、F_max、滑り出す角速度 ω_c はどうなりますか。When the mass m changes from 0.050 kg to 0.100 kg, what happens to F_req, F_max and the slipping angular speed ω_c?→ F_req も F_max（0.147 N → 0.294 N）も 2 倍になるが、ω_c（A 3.83、B 2.90、C 2.42 rad/s）は変わらない。Both F_req and F_max (0.147 N → 0.294 N) double, but ω_c (A 3.83, B 2.90, C 2.42 rad/s) does not change.
4. 滑り出したコインはどのように動きましたか。How did a coin move after it started to slip?→ 滑った瞬間の接線方向にほぼまっすぐ進み、台と一緒には回らず、中心にも引き込まれずに台の外へ出ていった。It moved almost straight along the tangent at the moment of slipping, did not keep turning with the table, was not pulled toward the center, and left the table.

4考えようThink further

1. なぜ滑り出す角速度は質量によらず、半径が大きいほど小さくなるのでしょうか。Why does the slipping angular speed not depend on mass, and why is it smaller for larger radii?→ 滑らない条件は mω²r ≤ μmg で、両辺の m が約分されて ω²r ≤ μg となるから。必要な向心力は r に比例するが、摩擦の上限 μmg は r によらないので、r が大きいほど小さな ω で上限を超える。The no-slip condition is mω²r ≤ μmg; m cancels, leaving ω²r ≤ μg. The required centripetal force grows with r, but the friction limit μmg does not depend on r, so a larger r exceeds the limit at a smaller ω.
2. カーブを曲がる車が、雨で路面が滑りやすいときにスピードを落とさなければならない理由を、このシミュレーションと結びつけて説明しよう。Using this simulation, explain why a car must slow down on a curve when the road is wet and slippery.→ 車の向心力もタイヤと路面の静止摩擦が供給している。雨で μ が小さくなると F_max = μmg が小さくなり、同じ速さで曲がるのに必要な mv²/r をまかなえなくなるので、速さを落として必要な向心力を小さくする必要がある。A car's centripetal force is also supplied by static friction between the tires and the road. Rain lowers μ, so F_max = μmg becomes smaller and can no longer supply the mv²/r needed at the same speed; the car must slow down to reduce the required centripetal force.

よくある誤解Common misconceptions

• 滑ったコインは「遠心力」で外向き（半径方向）に飛ばされる。→ 地面から見ると中心向きの力がなくなり、慣性で接線方向にまっすぐ進むだけである。A slipping coin is flung straight outward (radially) by “centrifugal force”. → Seen from the ground, the inward force simply disappears and the coin moves straight along the tangent by inertia.
• 重いコインほど滑りにくい（または滑りやすい）。→ 必要な向心力も最大静止摩擦力も質量に比例するので、滑り出す角速度は質量に関係ない。Heavier coins are harder (or easier) to make slip. → Both the required centripetal force and the maximum static friction are proportional to mass, so the slipping angular speed does not depend on mass.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)