等速円運動と向心力Uniform Circular Motion and Centripetal Force

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. ひもにつけた小球を水平面内で等速で回している。回っている途中でひもを切ると、小球はどの向きにどのように飛んでいくと思いますか。図にかいてみよう。A small ball on a string is whirled around a horizontal circle at constant speed. If the string is cut partway around, in which direction and along what kind of path do you think the ball will move? Draw it.💡 ひもが切れた後、小球にはたらく水平方向の力はあるだろうか。力がはたらかない物体はどう運動するか（慣性の法則）を思い出そう。After the string is cut, is there any horizontal force on the ball? Recall how an object moves when no force acts on it (the law of inertia).
2. 半径を変えずに速さ v を2倍にすると、小球を円軌道に保つのに必要な力は何倍になると思いますか。If the speed v is doubled while the radius stays the same, how many times larger do you think the force needed to keep the ball on the circle becomes?💡 速く回るほど、1周する時間も、向きを変える速さも変わる。両方の効果を考えよう。Going faster changes both how quickly the ball goes around and how fast its direction of velocity must change. Consider both effects.

2動かしてみようTry it

1. 初期値（「速さ v」2.0 m/s、「半径 r」1.5 m、「質量 m」1.0 kg、「力の縮尺」×1）のまま観察し、緑の速度ベクトルと赤の向心力ベクトルの向きを確かめる。「一時停止」でいろいろな位置で止めて見るとよい。パネルの「実測した1周の時間」と「周期 T = 2πr/v」を比べる。With the default values ("Speed v" 2.0 m/s, "Radius r" 1.5 m, "Mass m" 1.0 kg, "Force scale" ×1), check the directions of the green velocity vector and the red centripetal force vector. Use "Pause" to stop at various positions. Compare "Measured time for 1 lap" with "Period T = 2πr/v" in the panel.
2. 「速さ v」を 2.0 → 4.0 m/s にして、赤い矢印の長さと「向心力 F = mv²/r」「周期 T」の値の変化を記録する。赤い矢印が長すぎるときは「力の縮尺」を ×1/10 にする。Change "Speed v" from 2.0 to 4.0 m/s and record how the red arrow length and the values of "Centripetal force F = mv²/r" and "Period T" change. If the red arrow gets too long, set "Force scale" to ×1/10.
3. 「速さ v」を 2.0 m/s に戻し、「質量 m」を 2.0 kg にしたときと、「質量 m」を 1.0 kg に戻して「半径 r」を 3.0 m にしたときの F の値をそれぞれ記録する。Set "Speed v" back to 2.0 m/s. Record F when "Mass m" is set to 2.0 kg, and then when "Mass m" is back at 1.0 kg and "Radius r" is set to 3.0 m.
4. 「紐を切る」を押し、小球がどの向きにどんな経路で動くかを観察する（「切断点」と緑の点線に注目）。「円軌道に戻す」を押すと円運動にもどるので、別の位置でもう一度切ってみる。Press "Cut the string" and observe the direction and path of the ball (look at the "Cut point" and the green dashed line). Press "Back to the circle" to return to circular motion, then cut again at a different position.

3確かめようCheck

1. 円運動中、緑の速度ベクトルと赤の向心力ベクトルはそれぞれどちらを向いているか。両者のなす角はいくらか。During circular motion, which way do the green velocity vector and the red centripetal force vector point? What is the angle between them?→ 速度は円の接線方向、向心力は常に中心 O の向きで、両者は常に垂直（90°）。力が速度に垂直なので速さは変わらず、向きだけが変わる。The velocity is along the tangent to the circle, and the centripetal force always points toward the center O; they are always perpendicular (90°). Because the force is perpendicular to the velocity, the speed stays the same and only the direction changes.
2. v を 2.0 → 4.0 m/s にすると、F と T はどう変わったか。When v went from 2.0 to 4.0 m/s, how did F and T change?→ F は 2.667 N → 10.667 N で4倍（v² に比例）。T は 4.712 s → 2.356 s で半分になる。F went from 2.667 N to 10.667 N, 4 times larger (proportional to v²). T went from 4.712 s to 2.356 s, half as long.
3. m を2倍（2.0 kg）にしたとき、r を2倍（3.0 m）にしたときの F はそれぞれいくらか。What is F when m is doubled (2.0 kg), and when r is doubled (3.0 m)?→ m = 2.0 kg では 5.333 N（2倍、m に比例）。r = 3.0 m では 1.333 N（半分、r に反比例）。このとき T は 9.425 s と2倍になる。With m = 2.0 kg, F = 5.333 N (doubled, proportional to m). With r = 3.0 m, F = 1.333 N (halved, inversely proportional to r), and T becomes 9.425 s, twice as long.
4. 「紐を切る」を押した後、小球はどう動いたか。赤い矢印はどうなったか。After pressing "Cut the string", how did the ball move? What happened to the red arrow?→ 切った位置での接線方向（緑の点線）に沿って、まっすぐ同じ速さで飛んでいった。外側に向かって曲がることはない。赤い矢印は消え、F = 0 と表示される。It moved straight along the tangent at the cut point (the green dashed line) at the same speed. It did not curve outward. The red arrow disappeared, and the screen shows F = 0.

4考えようThink further

1. カーブを曲がる車に乗っていると外側に押しつけられるように感じる。この「遠心力」は、ひもを切ったときの小球の運動とどう関係しているだろうか。In a car going around a curve you feel pushed outward. How is this "centrifugal force" related to the motion of the ball after the string is cut?→ 地面から見ると、体は慣性によってまっすぐ（接線方向）進もうとし、車がドアや座席を通して中心向きの力を加えて曲げている。外向きの力が実際にはたらいているわけではない。力がなくなれば、小球と同じく接線方向にまっすぐ進む。遠心力は車と一緒に回る立場から見たときの見かけの力である。Seen from the ground, your body tends to keep going straight (along the tangent) by inertia, and the car pushes you toward the center through the door or seat to turn you. No real outward force acts. If that force vanished you would go straight along the tangent, just like the ball. Centrifugal force is an apparent force felt in the frame rotating with the car.
2. 速さが一定なのに「加速度がある」と言えるのはなぜか。向心加速度の大きさを v と r で表そう。Why can we say there is an acceleration even though the speed is constant? Express the magnitude of the centripetal acceleration in terms of v and r.→ 速度はベクトルで、向きが変われば速度は変化しているので加速度がある。運動方程式 F = ma と F = mv²/r より、向心加速度は a = v²/r（= rω²）で中心向き。Velocity is a vector; if its direction changes, the velocity changes, so there is an acceleration. From F = ma and F = mv²/r, the centripetal acceleration is a = v²/r (= rω²), directed toward the center.

よくある誤解Common misconceptions

• ひもを切ると小球は円の外側（中心から遠ざかる向き）にまっすぐ飛ぶ、またはしばらく曲がりながら飛ぶという誤解。実際は切った瞬間の接線方向にまっすぐ等速で進む。Thinking that when the string is cut the ball flies straight outward (away from the center), or keeps curving for a while. Actually it moves straight along the tangent at the moment of cutting, at constant speed.
• 等速円運動は速さが一定だから力ははたらいていない（つり合っている）という誤解。速度の向きを変え続けるために、中心向きの力が常に必要である。Thinking that no net force acts in uniform circular motion because the speed is constant. A force toward the center is always needed to keep changing the direction of the velocity.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)