2次元ビリヤード散乱：斜め衝突と反発係数2D Billiard Scattering: Oblique Collisions and Restitution

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ質量の円盤Aが、静止している円盤Bの中心から少しずれた位置に当たります(e = 1)。衝突後、AとBはどんな向きに進むと思いますか。2つの進む向きのなす角を予想しましょう。Disc A hits an identical disc B at rest, slightly off its centre (e = 1). In which directions do you think A and B move afterwards? Predict the angle between their two directions.💡 ビリヤードで手球を的球に薄く当てたとき、2つの球がどう分かれるかを思い出してみましょう。Recall how the cue ball and the target ball separate in billiards when you make a thin hit.
2. 斜めに衝突すると、もともと横向き(x 方向)だけだった運動量に、縦向き(y 方向)の成分が生まれると思いますか。When the collision is oblique, do you think the total momentum, which was only sideways (x direction) at first, gains an up-down (y) component?💡 A と B がおたがいに及ぼし合う力の関係(作用・反作用)を考えましょう。Think about the forces A and B exert on each other (action and reaction).

2動かしてみようTry it

1. 初期値(入射オフセット b = 0.50R、反発係数 e = 1.00、入射速度 v = 0.60 m/s)のまま「発射」を押し、トレイルと矢印で散乱後の A と B の進む向きを見る。表の「衝突直前」「衝突直後」の Σpx・Σpy・総KE と、「A'とB'のなす角 θ」を記録する。With the defaults (Impact offset b = 0.50R, Coefficient of restitution e = 1.00, Incoming speed v = 0.60 m/s), press "Shoot" and use the trails and arrows to see where A and B go after the collision. Record Σpx, Σpy and Total KE in the "Before" and "After" rows, and the "Angle between A' and B'" θ.
2. 「リセット」を押し、入射オフセット b を 0.20R と 0.90R にして、それぞれ「発射」。A' と B' の速さ・角度と θ を比べる。Press "Reset", set Impact offset b to 0.20R and then to 0.90R, pressing "Shoot" each time. Compare the speeds and angles of A' and B', and θ.
3. b = 0.00R(正面衝突)にして「発射」し、A と B の動きを観察する。Set b = 0.00R (head-on) and press "Shoot", and watch how A and B move.
4. b = 0.50R に戻し、反発係数 e を 0.50、次に 0 にして「発射」。θ、総KE とその変化、左下の運動量の図(点線 = 衝突前Σp、赤 = pA'、青 = pB')を確認する。Set b back to 0.50R, then set Coefficient of restitution e to 0.50 and then to 0, pressing "Shoot" each time. Check θ, Total KE and its Change, and the momentum diagram at lower left (dotted = total p before, red = pA', blue = pB').

3確かめようCheck

1. b = 0.50R、e = 1 のとき、衝突後の A と B の速度とそのなす角はどうなりましたか。With b = 0.50R and e = 1, what were the velocities of A and B after the collision and the angle between them?→ A' は 0.15 m/s(75.5°)、B' は 0.58 m/s(−14.5°)で、なす角 θ = 90.0°(直交)だった。b = 0.20R でも 0.90R でも θ = 90.0° になった。A' was 0.15 m/s (75.5°) and B' was 0.58 m/s (−14.5°), with θ = 90.0° (perpendicular). θ was also 90.0° for b = 0.20R and b = 0.90R.
2. 衝突の前後で Σpx と Σpy はどう変わりましたか。e = 0.50 や e = 0 ではどうでしたか。How did Σpx and Σpy change across the collision? What about with e = 0.50 or e = 0?→ どの場合も Σpx = 0.60 → 0.60 kg·m/s、Σpy = 0.00 → 0.00 kg·m/s で変化は 0.00 だった。e < 1 でも運動量はベクトルとして保存され、左下の図でも pA' と pB' をつなぐと衝突前の Σp(点線)に一致する。In every case Σpx stayed 0.60 → 0.60 kg·m/s and Σpy stayed 0.00 → 0.00 kg·m/s, with a change of 0.00. Even for e < 1 momentum is conserved as a vector, and in the lower-left diagram pA' and pB' joined tip to tail match the total p before (dotted).
3. e を 1.00、0.50、0 にしたとき(b = 0.50R)、総KE と θ はどうなりましたか。With b = 0.50R, what were Total KE and θ for e = 1.00, 0.50 and 0?→ e = 1.00 では総KE 0.18 J → 0.18 J(100 %)、θ = 90.0°。e = 0.50 では 0.18 J → 0.12 J(65 %)、θ = 45.9°。e = 0 では 0.18 J → 0.10 J(53 %)、θ = 27.3°。e が小さいほど運動エネルギーが減り、θ も小さくなる。For e = 1.00, Total KE went 0.18 J → 0.18 J (100 %) and θ = 90.0°. For e = 0.50, 0.18 J → 0.12 J (65 %) and θ = 45.9°. For e = 0, 0.18 J → 0.10 J (53 %) and θ = 27.3°. The smaller e, the more kinetic energy is lost and the smaller θ becomes.
4. b = 0.00R(正面衝突)ではどうなりましたか。What happened with b = 0.00R (head-on)?→ A' = 0.00 m/s(停止)、B' = 0.60 m/s(0.0°)となり、A が止まって B だけが法線方向(まっすぐ前)へ進んだ。これは1次元の等質量弾性衝突で速度が交換される結果と同じである。A' = 0.00 m/s (stopped) and B' = 0.60 m/s (0.0°): A stopped and only B moved off along the normal (straight ahead). This is the same as the 1D result where equal masses swap velocities in an elastic collision.

4考えようThink further

1. 等質量の弾性衝突で、散乱後の2つの速度が必ず直交するのはなぜでしょうか。運動量保存とエネルギー保存の式から説明しましょう。Why are the two velocities always perpendicular after an elastic collision of equal masses? Explain using conservation of momentum and of energy.→ 運動量保存から v = vA' + vB'(ベクトル)、運動エネルギー保存から v² = vA'² + vB'² が成り立つ。前者の両辺を2乗すると v² = vA'² + vB'² + 2 vA'·vB' なので、2 vA'·vB' = 0、つまり vA' と vB' は直交する(三平方の定理の関係)。Momentum conservation gives v = vA' + vB' (as vectors), and kinetic energy conservation gives v² = vA'² + vB'². Squaring the first gives v² = vA'² + vB'² + 2 vA'·vB', so 2 vA'·vB' = 0: vA' and vB' are perpendicular (a Pythagorean relation).
2. b = 0.50R のとき、e を変えても B' の向きは −14.5° のまま変わりませんでした。なぜでしょうか。With b = 0.50R, B' stayed at −14.5° whatever e was. Why?→ 摩擦がないので、B が A から受ける力は接触点での法線方向(2つの中心を結ぶ向き)だけである。静止していた B はその力の向き、つまり法線方向に動き出す。法線の向きは中心間距離 2R とずれ b だけで決まり(sin 14.5° ≈ 0.5R/2R)、e は速さだけを変える。With no friction, the only force on B from A acts along the normal at the contact point (the line joining the centres). B, initially at rest, moves off in that direction. The normal direction depends only on the centre distance 2R and the offset b (sin 14.5° ≈ 0.5R/2R); e changes only the speed.

よくある誤解Common misconceptions

• 「斜めに当たると、ぶつかった方の球はまっすぐ前に進み続ける」という誤解。等質量の弾性衝突では、A と B は入射方向の両側に分かれ、そのなす角は 90° になる。"In an oblique hit, the incoming ball keeps going straight ahead." In an elastic collision of equal masses, A and B split to either side of the incoming direction at 90° to each other.
• 「運動量保存は大きさ(速さの合計)が保存されること」という誤解。運動量はベクトルとして保存され、x 成分・y 成分がそれぞれ保存される。速さの和は保存されない。"Conservation of momentum means the total of the speeds stays the same." Momentum is conserved as a vector: its x and y components are each conserved, but the sum of the speeds is not.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)