鉛直投げ上げと力学的エネルギーの保存Vertical Throw and Conservation of Mechanical Energy

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ速さで、重さ 1 kg のボールと 2 kg のボールを真上に投げ上げます。高く上がるのはどちらだと思いますか。A 1 kg ball and a 2 kg ball are thrown straight up at the same speed. Which one do you think goes higher?💡 重いボールは位置エネルギーも運動エネルギーも大きくなります。両方が同じ割合で大きくなるとどうなるか考えましょう。A heavier ball has more potential energy and more kinetic energy. Think about what happens when both grow by the same factor.
2. 投げ上げる速さを2倍にすると、最高点の高さは何倍になると思いますか。If you throw the ball twice as fast, how many times higher do you think it will go?💡 運動エネルギーは速さの何乗に比例するかを思い出しましょう。Recall what power of speed kinetic energy is proportional to.

2動かしてみようTry it

1. 「初速 v0」10.0 m/s、「質量 m」1.0 kg、「地球 9.8」の状態で「投げる」を押し、上昇の途中で「一時停止」を押して、ボール横の v・h と右のエネルギー帯(位置 PE・運動 KE、合計 50.0 J)を読む。「再開」で続ける。With "Initial speed v0" 10.0 m/s, "Mass m" 1.0 kg and "Earth 9.8", press "Throw", press "Pause" partway up, and read v and h next to the ball and the energy bar on the right (Potential, Kinetic, Total 50.0 J). Press "Resume" to continue.
2. ボールが頂点(「頂点 (v=0)」の表示)に来たときと着地したときのエネルギー帯を観察し、グラフの目盛りの高さで上昇時(青の点)と下降時(緑の点)に記録された速さを比べる。Watch the energy bar when the ball reaches the top ("Top (v=0)") and when it lands, and compare the speeds recorded at each tick height on the way up (blue dots) and on the way down (green dots).
3. 「質量 m」スライダーを 2.0 kg に動かし、「最高点」の値と、エネルギーの「合計」の値がそれぞれどう変わるかを見る。Move the "Mass m" slider to 2.0 kg and see how the "Max height" value and the energy "Total" value each change.
4. 「初速 v0」を 5.0 m/s にしてから 10.0 m/s まで一度に動かし、上部のメッセージ「(前回の○倍)」と灰色の点線「前回」を見る。Set "Initial speed v0" to 5.0 m/s, then drag it up to 10.0 m/s in one move, and look at the message at the top "(…× before)" and the gray dotted "Before" line.
5. 「月 1.6」ボタンを押し(次に「火星 3.7」も試す)、最高点の高さと上部のメッセージの倍率を確認する。Press the "Moon 1.6" button (then try "Mars 3.7"), and check the maximum height and the ratio shown in the message at the top.

3確かめようCheck

1. 頂点ではボールの速さとエネルギー帯はどうなっていましたか。At the top, what were the ball's speed and the energy bar like?→ 速さは v = 0.0 m/s になり、エネルギー帯はすべて位置エネルギー(PE 50.0 J、KE 0.0 J)になった。着地の瞬間は逆に KE 50.0 J、PE 0.0 J で、どの瞬間も帯の合計は破線の枠(50.0 J)にぴったり一致していた。The speed became v = 0.0 m/s and the whole bar was potential energy (PE 50.0 J, KE 0.0 J). At landing it was the reverse, KE 50.0 J and PE 0.0 J, and at every moment the bar exactly filled the dashed frame (50.0 J).
2. 同じ高さを通るとき、上昇中と下降中の速さはどうでしたか。When the ball passed the same height, how did its speed going up compare with coming down?→ 同じだった。v0 = 10.0 m/s では高さ約 1.3 m で 8.7 m/s、約 2.6 m で 7.1 m/s、約 3.8 m で 5.0 m/s と、青の点と緑の点で同じ値になった。They were the same. At v0 = 10.0 m/s, the blue and green dots showed the same values: 8.7 m/s at about 1.3 m, 7.1 m/s at about 2.6 m, and 5.0 m/s at about 3.8 m.
3. 質量を 1.0 kg から 2.0 kg にすると、最高点と合計エネルギーはどうなりましたか。When the mass changed from 1.0 kg to 2.0 kg, what happened to the maximum height and the total energy?→ 最高点は 5.10 m のまま変わらなかった(「質量に無関係」の表示)。合計エネルギーは 50.0 J から 100.0 J に2倍になった。The maximum height stayed at 5.10 m ("same for any mass"). The total energy doubled from 50.0 J to 100.0 J.
4. 初速を 5.0 m/s から 10.0 m/s にしたときと、重力を地球 9.8 から月 1.6 にしたとき、最高点は何倍になりましたか。How many times higher did the ball go when the initial speed went from 5.0 to 10.0 m/s, and when gravity changed from Earth 9.8 to Moon 1.6?→ 初速2倍では 1.28 m → 5.10 m で約4倍(4.00倍)。月では 5.10 m → 31.25 m で約6倍(6.13倍)になった。Doubling the initial speed took it from 1.28 m to 5.10 m, about 4 times (4.00×). On the Moon it went from 5.10 m to 31.25 m, about 6 times (6.13×).

4考えようThink further

1. 質量を変えても最高点が変わらないのはなぜでしょうか。Why does changing the mass not change the maximum height?→ 質量が2倍になると、投げたときの運動エネルギーも2倍になるが、同じ高さまで上げるのに必要な位置エネルギー(mgh)も2倍になる。両方が同じ割合で変わるので、到達する高さは変わらない(h = v0²/2g で m が消える)。Doubling the mass doubles the kinetic energy at launch, but it also doubles the potential energy (mgh) needed to reach any height. Both change by the same factor, so the height reached is unchanged (m cancels in h = v0²/2g).
2. 初速を2倍にすると、なぜ高さは2倍ではなく4倍になるのでしょうか。Why does doubling the initial speed make the height 4 times, not 2 times, greater?→ 運動エネルギー ½mv² は速さの2乗に比例するので、速さ2倍でエネルギーは4倍になる。それがすべて位置エネルギー mgh に変わるので、高さも4倍になる。Kinetic energy ½mv² is proportional to the square of the speed, so doubling the speed gives 4 times the energy. All of it turns into potential energy mgh, so the height is also 4 times greater.

よくある誤解Common misconceptions

• 「重いボールほど(同じ速さで投げても)高く上がる/低くしか上がらない」という誤解。空気抵抗がなければ最高点は質量によらない。"A heavier ball thrown at the same speed goes higher (or lower)." Without air resistance the maximum height does not depend on mass.
• 「頂点ではエネルギーがなくなっている」という誤解。頂点で運動エネルギーは 0 だが、そのぶんはすべて位置エネルギーになっていて、合計は変わらない。"At the top the ball has no energy." At the top the kinetic energy is 0, but all of it has become potential energy, and the total is unchanged.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)