二本ロープで吊るす荷物の力のつり合いForces on a Load Hung by Two Ropes

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ荷物を2本のロープで吊るすとき、2本のロープを鉛直に近づけた場合と、横に大きく開いた場合とでは、ロープを引く力(張力)はどちらが大きくなると思いますか。When the same load is hung by two ropes, do you think the pulling force in the ropes (tension) is larger when both ropes are close to vertical or when they are spread wide to the sides?💡 荷物を支えるのは、張力のうち上向きの成分だけです。ロープが横に傾くと、上向きの成分はどうなるでしょうか。Only the upward part (component) of each tension holds up the load. What happens to that upward part when the rope leans to the side?
2. 左右のロープの角度が違うとき、張力が大きくなるのは鉛直に近いロープと、横に傾いたロープのどちらだと思いますか。When the two ropes have different angles, which rope do you think has the larger tension: the one closer to vertical or the one tilted more to the side?💡 結び目が左右どちらにも動かないためには、2本のロープが横向きに引く力がどんな関係になっている必要があるでしょうか。For the knot not to move left or right, how must the sideways pulls of the two ropes compare?

2動かしてみようTry it

1. 初期状態(「左ロープ角度 θ1」30°、「右ロープ角度 θ2」45°、「荷物の重さ W」20 N)で、結び目から出る T1・T2・W の矢印と、破線で描かれた成分 T1x・T1y・T2x・T2y を確認し、右の表の「大きさ」「水平成分」「鉛直成分」を読む。In the starting state ("Left rope θ1" 30°, "Right rope θ2" 45°, "Load weight W" 20 N), find the T1, T2 and W arrows from the knot and the dashed components T1x, T1y, T2x, T2y, then read "Magnitude", "Horizontal" and "Vertical" in the table on the right.
2. θ1 と θ2 をどちらも 30° にそろえ、次に 60°、80° にして、T1・T2 の大きさと結び目の位置の変化を記録する。Set both θ1 and θ2 to 30°, then to 60° and to 80°, and record how the sizes of T1 and T2 and the position of the knot change.
3. θ1 = 20°、θ2 = 70° のように左右の角度を大きく変え、どちらのロープの張力が大きいか、表の下の「水平: T1sinθ1 = T2sinθ2」の数値が等しいかを確かめる。Make the angles very different, e.g. θ1 = 20° and θ2 = 70°, and check which rope has the larger tension and whether the two numbers in "Horizontal: T1sinθ1 = T2sinθ2" below the table are equal.
4. 「リセット」を押してから「荷物の重さ W」を 40 N にし、T1・T2 とそれぞれの成分が何倍になったかを調べる。Press "Reset", then set "Load weight W" to 40 N, and find out by what factor T1, T2 and their components changed.

3確かめようCheck

1. 初期状態(θ1 = 30°、θ2 = 45°、W = 20 N)で、T1 と T2 はそれぞれ何 N ですか。水平成分と鉛直成分はどうなっていますか。In the starting state (θ1 = 30°, θ2 = 45°, W = 20 N), what are T1 and T2 in newtons? What about their horizontal and vertical components?→ T1 は約 14.6 N、T2 は約 10.4 N。水平成分はどちらも 7.3 N で向きが逆なので打ち消し合い、鉛直成分は 12.7 N + 7.3 N = 20.0 N で W と等しい。T1 is about 14.6 N and T2 about 10.4 N. The horizontal components are both 7.3 N in opposite directions, so they cancel, and the vertical components add up to 12.7 N + 7.3 N = 20.0 N, equal to W.
2. θ1 と θ2 を同じ角度で 30°、60°、80° と大きくすると、張力はどう変わりましたか。When you increased θ1 and θ2 together to 30°, 60° and 80°, how did the tensions change?→ 30° で約 11.5 N、60° で 20.0 N(荷物の重さと同じ)、80° で約 57.6 N と、ロープが横に開くほど急に大きくなった。どの角度でも鉛直成分は 10.0 N ずつで、合計は W = 20 N のまま。About 11.5 N at 30°, 20.0 N at 60° (equal to the weight), and about 57.6 N at 80°, so the tension grows rapidly as the ropes spread out. At every angle the vertical components stay 10.0 N each, totaling W = 20 N.
3. θ1 = 20°、θ2 = 70° のとき、張力が大きいのはどちらのロープですか。With θ1 = 20° and θ2 = 70°, which rope has the larger tension?→ 鉛直に近い左ロープで、T1 は約 18.8 N、T2 は約 6.8 N。水平成分はどちらも 6.4 N で等しく、鉛直成分は 17.7 N + 2.3 N = 20.0 N になる。The left rope, which is closer to vertical: T1 is about 18.8 N and T2 about 6.8 N. Both horizontal components are 6.4 N, and the vertical components are 17.7 N + 2.3 N = 20.0 N.
4. 角度はそのまま(30°・45°)で W を 20 N から 40 N にすると、張力はどうなりましたか。Keeping the angles (30° and 45°), what happened to the tensions when W went from 20 N to 40 N?→ T1 は約 29.3 N、T2 は約 20.7 N となり、どちらも約2倍になった。角度が同じなら張力は荷物の重さに比例する。T1 became about 29.3 N and T2 about 20.7 N, both roughly doubled. For the same angles, the tensions are proportional to the weight.

4考えようThink further

1. 洗濯物を干すロープや電線をピンと水平に張ろうとしても、少したるませないと切れやすいのはなぜですか。Why is it that a clothesline or a power line is likely to snap if you try to stretch it perfectly straight and level, instead of letting it sag a little?→ ロープが水平に近いほど(θ が 90° に近いほど)、重さを支える鉛直成分を得るために必要な張力が非常に大きくなるから。θ = 80° でも重さ 20 N に対して約 58 N の張力が必要で、完全に水平では有限の張力では支えられない。The closer the rope is to horizontal (θ near 90°), the larger the tension must be to provide the vertical component that supports the weight. Even at θ = 80°, a 20 N load needs about 58 N of tension, and a perfectly level rope could not support it with any finite tension.
2. θ1 = θ2 = 60° のとき、それぞれの張力が荷物の重さと同じ 20 N になるのはなぜですか。力の合成の考え方で説明しましょう。Why does each tension equal the weight (20 N) when θ1 = θ2 = 60°? Explain using the idea of combining forces.→ 2本のロープの間の角度は 120° になる。大きさの等しい2力が 120° の角をなすとき、2力を2辺とする平行四辺形(ひし形)の対角線、つまり合力の大きさは1つの力と等しくなる。この合力が W とつり合うので、T1 = T2 = W = 20 N となる。The angle between the ropes is 120°. When two equal forces make a 120° angle, the diagonal of the parallelogram (a rhombus) they form, i.e. their resultant, has the same size as each force. This resultant balances W, so T1 = T2 = W = 20 N.

よくある誤解Common misconceptions

• 「2本で支えれば、それぞれのロープには常に重さの半分しかかからない」という誤解。半分になるのは2本とも鉛直のときだけで、ロープが開くほど張力は大きくなり、重さを超えることもある。The idea that with two ropes each rope always carries half the weight. That is true only when both ropes are vertical; as they spread apart the tension grows and can even exceed the weight.
• 「傾いている(長く引っ張られている)ロープの方が大きな力を受ける」という誤解。実際には鉛直に近い(θ が小さい)ロープの方が張力が大きい。The idea that the more tilted rope carries the larger force. In fact the rope closer to vertical (smaller θ) has the larger tension.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)