振り子で学ぶ力学的エネルギーの保存Conservation of Mechanical Energy with a Pendulum

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 空気抵抗がないとき、30° の角度からはなしたおもりは、反対側でどのくらいの高さ(角度)まで上がると思いますか。With no air resistance, if the bob is released from 30°, how high (to what angle) do you think it will rise on the other side?💡 はなした瞬間のおもりがもっているエネルギーは何で、それが途中でどこかへ失われるかどうかを考えましょう。Think about what kind of energy the bob has at the moment it is released, and whether any of it is lost along the way.
2. おもりを重くすると、振り子の往復の速さや上がる高さは変わると思いますか。If you make the bob heavier, do you think the pendulum swings faster or rises to a different height?💡 重いおもりは位置エネルギーも運動エネルギーも大きくなります。速さを決めるのは、その「比」かもしれません。A heavier bob has more potential energy and more kinetic energy. What decides the speed might be how these compare.

2動かしてみようTry it

1. 「初期角度 θ₀」を 30°、「おもりの質量 m」を 1.0 kg、「空気抵抗(−bv)オン」のチェックを外した状態で「はなす」を押す(角度スライダーを動かすとおもりは静止する)。「直前に止まった最高点」と点線の「はじめの高さ h₀」を比べる。With "Starting angle θ₀" at 30°, "Bob mass m" at 1.0 kg and "Air resistance (−bv) on" unchecked, press "Release" (moving the angle slider holds the bob still). Compare the "Last highest point" with the dotted "Starting height h₀" line.
2. 「ゆっくり(1/4 倍速)」にチェックを入れ、エネルギーバーの「位置エネルギー mgh」「運動エネルギー ½mv²」「合計(力学的エネルギー)」の値と、「速さ v」と「理論値 √(2g(h₀−h))」を、最高点と最下点で読み取る。Check "Slow motion (1/4 speed)" and read the "Potential energy mgh", "Kinetic energy ½mv²" and "Total (mechanical energy)" values in the energy bar, along with "Speed v" and the "Theory √(2g(h₀−h))" value, at the highest and lowest points.
3. 「おもりの質量 m」を 0.5 kg と 2.0 kg にして、それぞれ「角度にもどす」→「はなす」で振らせ、エネルギーの J の値、最高点、往復の時間(「経過時間」)を比べる。Set "Bob mass m" to 0.5 kg and then 2.0 kg; each time press "Back to angle" → "Release". Compare the energy values in J, the highest point, and the time for a swing ("Time").
4. 「初期角度 θ₀」を 60° にしてはなし、はじめの高さと合計エネルギーがどう変わるかを見る。Set "Starting angle θ₀" to 60° and release. See how the starting height and the total energy change.
5. θ₀ = 30° に戻し、「空気抵抗(−bv)オン」にチェックを入れて、質量 2.0 kg と 0.5 kg で「はじめの合計に対して」の % と最高点が減っていくようすを比べる。Return θ₀ to 30°, check "Air resistance (−bv) on", and with masses of 2.0 kg and 0.5 kg compare how the "Compared with starting total" percentage and the highest point go down.

3確かめようCheck

1. 空気抵抗がないとき、30° からはなしたおもりは反対側でどこまで上がりましたか。そのとき合計エネルギーはどうでしたか。Without air resistance, how high did the bob released from 30° rise on the other side? What was the total energy doing?→ 反対側でも 30.0°(h = 0.134 m)まで上がり、点線の「はじめの高さ」とそろった。合計は 1.313 J のまま変わらず、「はじめの合計に対して」は 100.0 % だった。It rose to 30.0° (h = 0.134 m) on the other side too, level with the dotted "Starting height" line. The total stayed at 1.313 J and "Compared with starting total" read 100.0 %.
2. 最高点と最下点で、速さと 2 種類のエネルギーはどうなっていましたか。At the highest point and the lowest point, what were the speed and the two kinds of energy?→ 最高点では速さがほぼ 0 で、エネルギーはほとんど位置エネルギー(約 1.31 J)。最下点では高さ 0 で位置エネルギーはほぼ 0、速さは最大の約 1.62 m/s で、運動エネルギーが約 1.31 J になった。速さは理論値 √(2g(h₀−h)) と一致した。At the highest point the speed was almost 0 and nearly all the energy was potential energy (about 1.31 J). At the lowest point the height was 0, so potential energy was almost 0, the speed was at its maximum of about 1.62 m/s, and kinetic energy was about 1.31 J. The speed matched the theory value √(2g(h₀−h)).
3. 質量を 0.5 kg・1.0 kg・2.0 kg と変えると、何が変わり、何が変わりませんでしたか(空気抵抗なし)。When the mass was changed to 0.5 kg, 1.0 kg and 2.0 kg (no air resistance), what changed and what did not?→ 合計エネルギーは 0.656 J・1.313 J・2.626 J と質量に比例して変わった。しかし最高点(30.0°)、最下点での速さ(約 1.62 m/s)、往復の時間(1 往復約 2 秒)は変わらなかった。The total energy changed in proportion to mass: 0.656 J, 1.313 J and 2.626 J. But the highest point (30.0°), the speed at the lowest point (about 1.62 m/s) and the swing time (about 2 s per full swing) did not change.
4. 空気抵抗をオンにすると、合計エネルギーと振れ幅はどうなりましたか。質量による違いはありましたか。With air resistance on, what happened to the total energy and the amplitude? Did mass make a difference?→ 合計エネルギーが少しずつ減り、最高点もだんだん低くなった。0.5 kg では約 12 秒で静止し、エネルギーは位置・運動とも 0 になった。2.0 kg では 12 秒後もまだ約 10° 振れていて、重いほど長く振れ続けた。The total energy decreased little by little and the highest point got lower each time. At 0.5 kg the bob came to rest after about 12 s, with both potential and kinetic energy at 0. At 2.0 kg it was still swinging about 10° after 12 s, so the heavier bob kept swinging longer.

4考えようThink further

1. 質量を変えるとエネルギーは変わるのに、最下点での速さが変わらないのはなぜでしょうか。Why does the speed at the lowest point stay the same when the mass changes, even though the energy changes?→ 位置エネルギー mgh と運動エネルギー ½mv² がどちらも質量 m に比例するから。mgh₀ = ½mv² の両辺の m が消えて v = √(2gh₀) となり、速さは高さだけで決まる。θ₀ = 30° では h₀ ≈ 0.134 m、v ≈ 1.62 m/s。Because both potential energy mgh and kinetic energy ½mv² are proportional to the mass m. In mgh₀ = ½mv² the m cancels, giving v = √(2gh₀), so the speed depends only on the height. For θ₀ = 30°, h₀ ≈ 0.134 m and v ≈ 1.62 m/s.
2. ジェットコースターが、最初に登った坂より高い山を途中で越えられないのはなぜでしょうか。Why can a roller coaster never get over a hill higher than the first hill it climbed?→ 力学的エネルギーは(摩擦や空気抵抗がなくても)最初の位置エネルギーより増えないので、はじめの高さより高い所まで上がるエネルギーがないから。実際は摩擦や空気抵抗でエネルギーが減るので、途中の山はさらに低くする必要がある。Mechanical energy can never become larger than the starting potential energy (even without friction or air resistance), so there is not enough energy to rise above the starting height. In reality friction and air resistance remove energy, so later hills must be even lower.

よくある誤解Common misconceptions

• 「重いおもりほど速く振れる・速く落ちる」という誤解。空気抵抗がなければ、質量を変えてもエネルギーの大きさが変わるだけで、速さ・振れ方・周期は同じ。"A heavier bob swings or falls faster." Without air resistance, changing the mass only changes how much energy there is; the speed, swing and period stay the same.
• 「振り子が止まるのはエネルギーが消えるから」という誤解。空気抵抗があると力学的エネルギーは減るが、なくなったのではなく空気をかき混ぜる運動や熱などに変わっている。"A pendulum stops because its energy disappears." With air resistance the mechanical energy goes down, but it is not destroyed; it turns into motion of the air, heat and so on.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)