虹の角 Δ(b) グラフ — なぜ42°？Rainbow angle Δ(b) graph — why 42°?

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 水滴の中心をまっすぐ通る光線(b/R = 0)は、1回反射したあと、どちらの向きへ出ていくと思いますか。全偏角 Δ はいくらになるでしょうか。A ray that goes straight through the center of the drop (b/R = 0) reflects once. Which way do you think it leaves? What is its total deviation Δ?💡 中心を通る光線は面に垂直に当たるので、入るときも出るときも曲がりません。奥の面で鏡のように反射するとどうなるでしょう。A ray through the center hits the surface at right angles, so it does not bend going in or coming out. What happens when it reflects off the back surface like a mirror?
2. 入射位置 b/R を 0 から 1 まで大きくしていくと、Δ はずっと減り続けると思いますか。それとも途中で向きが変わると思いますか。As the entry height b/R increases from 0 to 1, do you think Δ keeps decreasing all the way, or does it change direction somewhere?💡 Δ = 180° + 2i − 4r で、i と r はどちらも b とともに大きくなります。b が大きいとき、i と r の増え方はどう違うでしょうか。In Δ = 180° + 2i − 4r, both i and r grow with b. When b is large, how differently do i and r grow?

2動かしてみようTry it

1. 「波長 λ」を 650 nm のままにし、「入射位置 b/R」スライダーを 0 → 0.3 → 0.5 → 0.7 → 0.86 → 0.9 → 1.0 と動かして、左の水滴図で強調された光線(入射・反射・出射)と、右のグラフ上の点の動きを観察し、HUD「選択光線」の i、r、Δ を記録する。Keep "Wavelength λ" at 650 nm and move the "Entry height b/R" slider through 0 → 0.3 → 0.5 → 0.7 → 0.86 → 0.9 → 1.0. Watch the highlighted ray (entry, reflection, exit) in the drop diagram on the left and the moving point on the graph on the right, and record i, r, and Δ under "Chosen ray" in the readout.
2. グラフ「全偏角 Δ (°)」の曲線の最も低い点に付いた Δmin の表示と、HUD の「Δmin」「虹の角 180° − Δmin」の値を読む。Read the Δmin label at the lowest point of the "Total deviation Δ (°)" curve on the graph, and the "Δmin" and "Rainbow angle 180° − Δmin" values in the readout.
3. 水滴図の多数の出射光線のうち、Δmin 付近の光線が同じ向きにそろっている部分と、グラフ右の「明るさ(光線数)」の棒グラフが Δmin のところで高くなっていることを確かめる。In the drop diagram, find where the outgoing rays near Δmin line up in the same direction, and check that the "Brightness (rays)" bar chart on the right side of the graph peaks at Δmin.
4. 「波長 λ」スライダーを 700 nm → 550 nm → 400 nm と動かし、HUD の「屈折率 n」と「虹の角 180° − Δmin」の変化、グラフの 700nm・400nm の曲線の位置の違いを記録する。Move the "Wavelength λ" slider through 700 nm → 550 nm → 400 nm, and record how "Refractive index n" and "Rainbow angle 180° − Δmin" change in the readout, and how the 700nm and 400nm curves on the graph differ.

3確かめようCheck

1. b/R = 0 のときと b/R = 1.0 のとき、Δ はそれぞれいくらでしたか。What was Δ at b/R = 0 and at b/R = 1.0?→ b/R = 0 では i = r = 0° で Δ = 180.00°(光は太陽の方へまっすぐ戻る)。b/R = 1.0 では i = 90.0°、r = 48.6° で Δ = 165.57° だった。At b/R = 0, i = r = 0° and Δ = 180.00° (the light goes straight back toward the sun). At b/R = 1.0, i = 90.0°, r = 48.6°, and Δ = 165.57°.
2. b/R を大きくしていくと Δ はどう変化しましたか。最小値はどこにありましたか。How did Δ change as b/R increased? Where was the minimum?→ Δ は 180°(b/R = 0)→ 162.9°(0.3)→ 151.9°(0.5)→ 142.2°(0.7)と減り、b/R ≈ 0.86(i ≈ 59.4°)で最小 Δmin = 137.92° になり、その後 138.45°(0.9)、165.57°(1.0)と再び増えた。Δ decreased from 180° (b/R = 0) to 162.9° (0.3), 151.9° (0.5), and 142.2° (0.7), reached its minimum Δmin = 137.92° at b/R ≈ 0.86 (i ≈ 59.4°), and then increased again to 138.45° (0.9) and 165.57° (1.0).
3. n = 1.333(650 nm)のときの虹の角はいくらでしたか。出射光線と明るさの棒グラフは Δmin 付近でどうなっていましたか。What was the rainbow angle for n = 1.333 (650 nm)? What did the outgoing rays and the brightness bar chart look like near Δmin?→ 虹の角は 180° − 137.92° = 42.08°。Δmin 付近では b が少し変わっても Δ がほとんど変わらないので、出射光線が同じ向きにそろって重なり、明るさ(光線数)の棒が Δmin の位置で最も高くなった。The rainbow angle was 180° − 137.92° = 42.08°. Near Δmin, Δ hardly changes even when b changes a little, so the outgoing rays line up and overlap, and the brightness (rays) bar was tallest at Δmin.
4. 波長を変えると、屈折率と虹の角はどう変わりましたか。How did the refractive index and the rainbow angle change with wavelength?→ 700 nm で n = 1.3310、虹の角 42.37°、550 nm で n = 1.3370、41.50°、400 nm で n = 1.3430、40.65° となった。波長が短いほど屈折率が大きく Δmin が大きくなるので虹の角は小さくなり、赤が外側・紫が内側になる。At 700 nm, n = 1.3310 and the rainbow angle was 42.37°; at 550 nm, n = 1.3370 and 41.50°; at 400 nm, n = 1.3430 and 40.65°. Shorter wavelengths have a larger refractive index and a larger Δmin, so their rainbow angle is smaller: red is outside and violet is inside.

4考えようThink further

1. Δ が最小になるところで光が明るく集まるのはなぜでしょうか。グラフの形から説明してください。Why does light gather and become bright where Δ is at its minimum? Explain using the shape of the graph.→ 太陽光は b の全範囲に一様に当たる。グラフの傾きが大きいところでは、b が少し違うと Δ が大きく変わるので光線はばらばらの向きに広がる。最小点では傾きが0(dΔ/db = 0)なので、広い範囲の b から来た光線がほぼ同じ Δ に集まり、その向きだけが特に明るくなる。これが虹の明るい円になる。Sunlight hits all values of b evenly. Where the graph is steep, a small change in b gives a large change in Δ, so the rays spread out in different directions. At the minimum the slope is zero (dΔ/db = 0), so rays from a wide range of b end up at nearly the same Δ, making that one direction especially bright. That is the bright circle of the rainbow.
2. Δmin ≈ 138° なのに、なぜ虹は「反太陽点から約42°」の位置に見えるのでしょうか。If Δmin ≈ 138°, why is the rainbow seen at about 42° from the antisolar point?→ Δ は太陽光の進む向きから測った曲がり角で、Δ = 180° なら光はちょうど太陽の方へ戻る。観察者は太陽を背にして見るので、反太陽点(太陽の真裏)の方向からの角度は 180° − Δ になる。Δmin = 137.92° なら 180° − 137.92° ≈ 42.1° となる。Δ is measured from the direction the sunlight was traveling, and Δ = 180° means the light goes straight back toward the sun. The observer looks with the sun behind them, so the angle from the antisolar point (directly opposite the sun) is 180° − Δ. With Δmin = 137.92°, this gives 180° − 137.92° ≈ 42.1°.

よくある誤解Common misconceptions

• 「雨粒から出る光はすべて42°の方向にだけ出ていく」という誤解。光は 138°〜180° のいろいろな Δ で出ていくが、Δmin 付近に特に集中するため、その角度だけが明るい虹として見える(虹の内側の空もうっすら明るい)。"All the light from a raindrop leaves only at 42°." Light leaves at many values of Δ between about 138° and 180°, but it is especially concentrated near Δmin, so only that angle looks like a bright rainbow (the sky inside the bow is also slightly brighter).
• 「紫は大きく曲がるので虹の外側に来る」という誤解。紫は屈折率が大きく Δmin が大きくなる(139.35°)ので、虹の角 180° − Δmin は小さく(40.65°)、内側に来る。"Violet bends more, so it should be on the outside of the rainbow." Violet has a larger refractive index and a larger Δmin (139.35°), so its rainbow angle 180° − Δmin is smaller (40.65°) and it is on the inside.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)