ブランコの漕ぎ方とパラメータ励振

現在角度 θ0°
振幅(両端角)-
振り子の長さ l-
力学的エネルギー E-
固有周期 T₀=2π√(l₀/g)-
漕ぎ周期 T漕-
周期の関係-
エネルギー収支 E−E₀ = 漕ぎの仕事 W − 摩擦散逸 D-
最下点通過ごとの漕ぎ(○=立ち上がり・短くする/×=しゃがみ・長くする/△=ほぼ変化なし)-

解説:漕ぐ=振り子の長さを周期的に変えること。最も速く最下点を通る瞬間に立ち上がって重心を上げると、その仕事がエネルギーとして毎半周期ずつ積み重なり、振幅が指数関数的に増える(パラメータ励振)。タイミングがずれると増幅は弱まり、180°ずれると同じ漕ぎでもエネルギーを奪って振幅が減る。摩擦が大きければ漕ぎが弱い場合は増幅できず自然に減衰する。

モデル:θ̈ = −2(dl/dt)/l·θ̇ − (g/l)sinθ − γθ̇(g=9.8 m/s², m=1 kg, l₀=2.0 m, ω₀=√(g/l₀))。固定刻み dt=1/240 s +蓄積器つき4次ルンゲ=クッタ法。漕ぎは l = l₀(1 − ε·S(Φ+φ−180°))。漕ぎの位相 Φ は角速度 2ω₀ を基準に進み、乗り手が揺れに合わせるよう Φ≈2ψ(ψ:揺れの位相)へ同期させる(周波数は揺れの2倍=周期は約1/2)。

前提:S は滑らかな矩形波(tanh形)。純粋な cos 波で「最下点ちょうどに最短」にすると最下点で dl/dt=0 になり、1次の仕事が0(ほぼ中立)になってしまうため、既定(φ=180°)では最下点を通る瞬間に素早く立ち上がって(dl/dt<0)以後最短を保ち、両端で素早くしゃがんで最長にする、実際の漕ぎ方の波形を採用した。E = ½ml²θ̇² + mgl(1−cosθ)。振幅が約90°を超えると実際の鎖のブランコではたるむため、このモデルの適用範囲外。そこで乗り手はエネルギーから見積もった振幅が65°を超えたら漕ぎを休止し(ε を滑らかに0へ)、55°未満に戻るか位相を減衰側(φが180°から135°以上ずれる)にすると再開する(安全制限。休止中のlの変化もエネルギー収支に含めて計算)。