量子トンネル効果：矩形障壁を貫くガウス波束Quantum Tunneling: A Gaussian Wave Packet Through a Square Barrier

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 中心エネルギー E0 = 1.00 の波束が、高さ V0 = 1.30(E0 より高い)の障壁に当たります。古典力学のボールならすべて跳ね返されますが、量子力学の波束では障壁の向こう側に何か現れると思いますか。A wave packet with center energy E0 = 1.00 hits a barrier of height V0 = 1.30 (higher than E0). A classical ball would bounce back completely. Do you think anything will appear on the far side of the barrier for a quantum wave packet?💡 シュレーディンガー方程式では、E < V の領域でも波動関数はすぐにゼロにはならず、ある減り方で減衰します。In the Schrödinger equation, the wave function does not drop to zero immediately where E < V; it decays in a certain way.
2. 逆に E0 が V0 より大きいとき、波束はすべて障壁を通り抜けると思いますか。On the other hand, when E0 is larger than V0, do you think the whole packet will pass the barrier?💡 波は、媒質(ここではポテンシャル)が急に変わる境界で一部が反射される性質があります。Waves tend to partly reflect wherever the medium (here, the potential) changes suddenly.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「中心エネルギー E0」1.00、「障壁の高さ V0」1.30、「障壁の幅 L」2.0)で「リセット」を押し、上段の |ψ|² 確率密度と下段の Re ψ が障壁に当たって左右に分かれる様子を観察する。「（分離完了）」と表示されたら、反射 R、透過 T、理論T(k平均)、R+T+障壁内 を記録する。In the starting state ("Center energy E0" 1.00, "Barrier height V0" 1.30, "Barrier width L" 2.0), press "Reset" and watch |ψ|² (top) and Re ψ (bottom) split left and right when they hit the barrier. When "(split done)" appears, record Reflected R, Transmitted T, Theory T (k avg) and R+T+in.
2. 表示切り替えボタン(「全体表示」⇔「障壁付近」)で障壁付近を拡大し、「透過側×1」ボタンを押して ×10、×100 に切り替え、障壁内で Re ψ が振動せずに減衰する様子と、透過側の小さな波束を見やすくする。Use the view button ("Full view" ⇔ "Near barrier") to zoom in near the barrier, and press the "T side ×1" button to switch to ×10 and ×100, so you can see Re ψ decaying without oscillating inside the barrier and the small transmitted packet more clearly.
3. E0 = 1.00、V0 = 1.30 のまま「障壁の幅 L」を 1.0 → 2.0 → 3.0 → 4.0 と変え、それぞれ分離完了後の T と「減衰 e^(−2κL)」を記録する。Keeping E0 = 1.00 and V0 = 1.30, change "Barrier width L" through 1.0 → 2.0 → 3.0 → 4.0 and record T and "Decay e^(−2κL)" after the split is done each time.
4. L = 2.0 に戻し、「障壁の高さ V0」を 3.00、2.00、1.30、1.00、0.50、0 と下げていき、V0/E0 の表示(>1 / =1 / <1)と T、R の変化を記録する。Return L to 2.0 and lower "Barrier height V0" through 3.00, 2.00, 1.30, 1.00, 0.50 and 0. Record the V0/E0 readout (>1 / =1 / <1) and how T and R change.

3確かめようCheck

1. E0 = 1.00、V0 = 1.30、L = 2.0 のとき、分離完了後の R と T はいくつでしたか。理論値と合っていましたか。At E0 = 1.00, V0 = 1.30 and L = 2.0, what were R and T after the split? Did they match the theory?→ R ≈ 0.866、T ≈ 0.133 で、理論T(k平均)= 0.1344 とほぼ一致した。E0 < V0 なのに約13%が障壁の向こうに現れた(トンネル効果)。R ≈ 0.866 and T ≈ 0.133, almost the same as Theory T (k avg) = 0.1344. Even though E0 < V0, about 13% appeared beyond the barrier (tunneling).
2. 障壁の幅 L を大きくすると T はどう変わりましたか。How did T change as the barrier width L was increased?→ 単調に減少した。L = 1.0 で約 0.49、2.0 で約 0.13、3.0 で約 0.038、4.0 で約 0.015。L が 1 増えるごとに数分の1になり、指数関数的な減り方で「減衰 e^(−2κL)」の減り方と同じ傾向だった。It decreased steadily: about 0.49 at L = 1.0, 0.13 at 2.0, 0.038 at 3.0 and 0.015 at 4.0. Each extra unit of L cut T by a large factor, an exponential decrease with the same trend as "Decay e^(−2κL)".
3. V0 を下げて V0/E0 が 1 より小さくなると、R と T はどうなりましたか。When V0 was lowered so that V0/E0 became less than 1, what happened to R and T?→ V0 = 3.00 で T ≈ 0.0013、2.00 で 0.015、1.30 で 0.13、1.00 で 0.34 と増え、V0 = 0.50(V0/E0 = 0.50 <1)では T ≈ 0.89 になったが、R ≈ 0.11 の反射が残った。V0 = 0 のときだけ R はほぼ 0 になった。T grew from about 0.0013 at V0 = 3.00 to 0.015 at 2.00, 0.13 at 1.30 and 0.34 at 1.00, reaching about 0.89 at V0 = 0.50 (V0/E0 = 0.50 <1), but a reflection of R ≈ 0.11 remained. Only at V0 = 0 did R become almost 0.
4. 計算中、R+T+障壁内 の値はどうでしたか。What was the value of R+T+in during the run?→ 常にほぼ 1 だった(衝突中は 1.000000、分離完了時でも約 0.9996、偏差 −4.4×10⁻⁴ 程度)。確率の合計が保存されていることを示す。It stayed almost exactly 1 (1.000000 during the collision and about 0.9996 when the split was done, an error of about −4.4×10⁻⁴). This shows that total probability is conserved.

4考えようThink further

1. なぜトンネル確率は障壁の幅や高さに対して指数関数的に小さくなるのでしょうか。Why does the tunneling probability decrease exponentially with the barrier width and height?→ E < V の障壁内では波動関数が振動せず e^(−κx) で減衰するエバネッセント波になり、κ = √(2m(V0−E))/ħ である。障壁の反対側に届く振幅は e^(−κL)、確率はその2乗で e^(−2κL) 程度になるので、L が大きいほど、また V0 が高く κ が大きいほど指数関数的に減る。Inside a barrier where E < V the wave function does not oscillate but becomes an evanescent wave decaying like e^(−κx), with κ = √(2m(V0−E))/ħ. The amplitude reaching the far side is about e^(−κL) and the probability is its square, about e^(−2κL), so it falls exponentially as L grows or as V0 rises (making κ larger).
2. トンネル効果は身の回りや技術のどこで使われているでしょうか。また、なぜ日常のボールではトンネル効果が見られないのでしょうか。Where is tunneling used in nature or technology? And why do we never see everyday balls tunnel?→ α崩壊、太陽内部の核融合、走査型トンネル顕微鏡(STM)、フラッシュメモリやトンネルダイオードなどで重要である。ボールは質量が非常に大きく κ = √(2m(V0−E))/ħ が莫大になるため、e^(−2κL) は事実上ゼロになる。It matters in alpha decay, nuclear fusion in the Sun, the scanning tunneling microscope (STM), flash memory and tunnel diodes. A ball has a huge mass, so κ = √(2m(V0−E))/ħ is enormous and e^(−2κL) is effectively zero.

よくある誤解Common misconceptions

• 「エネルギーが障壁より低ければ確率は完全にゼロで、決して向こう側に行けない」という誤解。量子力学では E0 < V0 でも透過確率は有限で、L や V0 を大きくすると指数関数的に小さくなるだけである。"If the energy is lower than the barrier, the probability is exactly zero and the particle can never get through." In quantum mechanics, the transmission probability is finite even for E0 < V0; it only becomes exponentially small as L or V0 grows.
• 「エネルギーが障壁より高ければ必ず全部通り抜ける」という誤解。E0 > V0 でもポテンシャルの段差で一部が反射される(E0 = 1.00、V0 = 0.50 で R ≈ 0.11)。"If the energy is higher than the barrier, everything always gets through." Even when E0 > V0, part of the wave reflects at the potential steps (R ≈ 0.11 for E0 = 1.00, V0 = 0.50).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)