光時計で見る時間の遅れとローレンツ収縮Light Clocks: Time Dilation and Length Contraction

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 右へ速さ v で動いている光時計を外から見ると、鏡の間を往復する光はどのような経路を通るように見えると思いますか。また、そのとき1往復(1tick)にかかる時間は静止した時計と比べてどうなると思いますか。When you watch from outside a light clock moving to the right at speed v, what path do you think the light bouncing between the mirrors will appear to follow? And how do you think the time for one round trip (one tick) will compare with a clock at rest?💡 光が下の鏡を出てから上の鏡に届くまでの間にも、鏡は右へ移動しています。そして光の速さはどの観測者にとっても c です。While the light travels from the bottom mirror to the top mirror, the mirrors themselves keep moving to the right. And the speed of light is c for every observer.
2. 速く動く宇宙船を外から見ると、長さや高さは変わって見えると思いますか。変わるとしたらどの向きの寸法でしょうか。When a fast-moving spaceship is viewed from outside, do you think its length or height will look different? If something changes, which direction's size would it be?💡 運動の向きと、それに垂直な向きを分けて考えてみましょう。Think separately about the direction of motion and the direction perpendicular to it.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「① 相対速度 v/c」= 0.60、「② 高さ L0」= 0.60 光秒)で「リセット」を押し、左の「静止系の光時計」の光子が垂直に往復し、右の「動く光時計（外から観測）→」の光子が斜めのジグザグ経路を残すことを観察する。約6秒後、数値パネルの「tick 静止 / 運動」の回数を記録する。In the starting state ("① Relative speed v/c" = 0.60, "② height L0" = 0.60 light-s), press "Reset". Watch the photon in the left "Clock at rest" bounce straight up and down while the photon in the right "Moving clock (seen from outside) →" leaves a diagonal zigzag trail. After about 6 s, record the "tick rest / moving" counts in the readout panel.
2. 「v=0.8c」ボタンを押してから「リセット」し、γ、Δt=γΔt0、tick の回数、パネルの「横ずれ/斜め」と「(cΔt/2)² と L0²+(vΔt/2)²」の値を読み取る。Press the "v=0.8c" button, then "Reset". Read γ, Δt=γΔt0, the tick counts, and the "shift/diagonal" and "(cΔt/2)² = L0²+(vΔt/2)²" values in the panel.
3. 「光の画面速度」の左右の値を見ながら「① 相対速度 v/c」スライダーを 0 から 0.99 まで動かし、光子の画面上の速さが変わるかどうかを確かめる(「v=0.99c」ボタンも使う)。Watch the left and right values of "Light on screen" while moving the "① Relative speed v/c" slider from 0 to 0.99, and check whether the photon's speed on screen changes (also try the "v=0.99c" button).
4. 画面下の「ローレンツ収縮」の宇宙船で、実線(L=L0/γ)と破線(L0)の長さ、および数値パネルの「L/L0」と「高さ」を v = 0、0.8、0.99 で比べる。In the "Lorentz contraction" scene at the bottom, compare the solid line (L=L0/γ) and the dashed line (L0) on the spaceship, and the "L/L0" and "height" values in the panel, at v = 0, 0.8 and 0.99.
5. 「② 高さ L0」スライダーを 1.00 光秒にして、Δt0 と Δt がどちらも大きくなるが、比 Δt/Δt0 = γ は変わらないことを確かめる。Set the "② height L0" slider to 1.00 light-s and check that Δt0 and Δt both get larger, but the ratio Δt/Δt0 = γ stays the same.

3確かめようCheck

1. v = 0.6c で約6秒たったとき、静止した時計と動く時計の tick 回数はいくつでしたか。At v = 0.6c, after about 6 s, how many ticks had the clock at rest and the moving clock each made?→ 静止側が4回、運動側が3回だった。Δt0 = 1.200 s に対して Δt = γΔt0 = 1.250 × 1.200 = 1.500 s なので、動く時計の進みは 1/γ = 0.8 倍に遅れる。The clock at rest made 4 ticks and the moving clock 3. Since Δt0 = 1.200 s and Δt = γΔt0 = 1.250 × 1.200 = 1.500 s, the moving clock runs slow by a factor 1/γ = 0.8.
2. v = 0.8c と v = 0.99c のとき、γ と L = L0/γ はいくつと表示されましたか。What values of γ and L = L0/γ were shown at v = 0.8c and v = 0.99c?→ v = 0.8c では γ = 1.667、Δt = 2.000 s、L/L0 = 0.600(L0 = 0.60 光秒なら L = 0.360 光秒)。v = 0.99c では γ = 7.089、Δt = 8.507 s、L/L0 = 0.141 となり、宇宙船は大きく縮んでも描画は続く。At v = 0.8c, γ = 1.667, Δt = 2.000 s and L/L0 = 0.600 (L = 0.360 light-s for L0 = 0.60 light-s). At v = 0.99c, γ = 7.089, Δt = 8.507 s and L/L0 = 0.141; the ship shrinks a lot but the animation keeps running.
3. v を大きくしたとき、光子の画面上の速さと斜め経路の長さはどうなりましたか。When v was increased, what happened to the photon's speed on screen and to the length of the diagonal path?→ 「光の画面速度」は左右とも同じ値(この画面では約 253 px/s)のまま変わらなかった。変わったのは経路の長さで、v = 0.8c では半周期の斜め経路が約 253 px、横ずれが約 202 px となり、横ずれ/斜め = 0.800 = v/c、(cΔt/2)² = L0² + (vΔt/2)² が成り立っていた。"Light on screen" stayed at the same value for both clocks (about 253 px/s on this screen). What changed was the path length: at v = 0.8c the diagonal for half a tick was about 253 px and the horizontal shift about 202 px, so shift/diagonal = 0.800 = v/c, and (cΔt/2)² = L0² + (vΔt/2)² held.
4. v を変えたとき、宇宙船の長さと高さはそれぞれどうなりましたか。When v was changed, what happened to the spaceship's length and its height?→ 進行方向の長さ(実線)だけが L0/γ に縮み、破線の L0 より短くなった。高さは「高さ 34px一定」と表示され、v によらず変わらなかった。右の光時計も鏡の幅は狭くなるが、鏡の間隔(高さ L0)は変わらない。Only the length along the motion (solid line) shrank to L0/γ, becoming shorter than the dashed L0. The height stayed fixed ("height 34px (fixed)") for every v. In the moving light clock, too, the mirrors get narrower but the gap between them (height L0) does not change.

4考えようThink further

1. 光時計の図から、なぜ Δt = Δt0/√(1−v²/c²) になるのかを説明しなさい。Using the light-clock picture, explain why Δt = Δt0/√(1−v²/c²).→ 半周期の間に光は斜辺 cΔt/2 を進み、その間に時計は vΔt/2 だけ横に動き、縦の辺は L0 のまま。三平方の定理 (cΔt/2)² = L0² + (vΔt/2)² を Δt について解き、Δt0 = 2L0/c を使うと Δt = Δt0/√(1−v²/c²) = γΔt0 となる。光速が一定なので、経路が長くなった分だけ時間がかかる。In half a tick the light travels the hypotenuse cΔt/2 while the clock moves sideways by vΔt/2, and the vertical side stays L0. Solving the Pythagorean relation (cΔt/2)² = L0² + (vΔt/2)² for Δt and using Δt0 = 2L0/c gives Δt = Δt0/√(1−v²/c²) = γΔt0. Because the speed of light is fixed, a longer path simply takes more time.
2. 宇宙船に乗っている人から見ると、自分の光時計は遅れて見えるでしょうか。またこの人から見て、地上の駅ホームの長さはどう見えるでしょうか。For a person riding in the spaceship, does their own light clock seem to run slow? And how would the length of the station platform on the ground look to this person?→ 自分と一緒に動く時計は静止して見えるので、通常どおり Δt0 ごとに tick する(遅れて見えない)。運動は相対的なので、宇宙船から見ると逆に地上の時計が遅れ、駅ホームが進行方向に 1/γ に縮んで見える。どちらの観測者も正しく、相対性原理の表れである。A clock moving with them is at rest in their frame, so it ticks normally every Δt0 (it does not seem slow). Since motion is relative, from the ship it is the ground clocks that run slow and the platform that looks shorter by 1/γ along the motion. Both observers are correct; this is the principle of relativity.

よくある誤解Common misconceptions

• 「速く動けば光も速く進む(光速に時計の速さが足される)」という誤解。シミュレーションでも光の画面速度は v によらず一定で、伸びるのは経路の長さだけである。"If the clock moves fast, its light moves faster too (the clock's speed adds to c)." In the simulation the light's speed on screen is the same for every v; only the path gets longer.
• 「ローレンツ収縮で物体は全体が小さくなる」という誤解。縮むのは進行方向の寸法だけで、垂直な高さは変わらない。"Length contraction makes the whole object smaller." Only the size along the direction of motion shrinks; the perpendicular height does not change.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)