ベンチュリ管とマノメータ ― ベルヌーイの定理Venturi Tube & Manometer – Bernoulli's Principle

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 上流 ①・くびれ ②・下流 ③ に立てた立管のうち、水面が最も低くなるのはどこだと思いますか。また、上流流速 v₁ を2倍にすると、U字管マノメータの液面差 h は何倍になると思いますか。Of the standpipes at ① upstream, ② throat, and ③ downstream, where do you think the water level will be lowest? Also, if you double the upstream speed v₁, by what factor do you think the U-tube manometer level difference h will change?💡 くびれ部の速さを連続の式で考え、ベルヌーイの定理で圧力差が速さのどんな式になるか書いてみましょう。Find the speed in the throat with the continuity equation, then write the pressure difference from Bernoulli's principle as a formula in the speeds.
2. 同じ流れを測るとき、マノメータの液を水銀から密度の小さい液体に替えると、液面差 h は大きくなると思いますか、小さくなると思いますか。When measuring the same flow, if you replace the mercury in the manometer with a less dense liquid, do you think the level difference h will get larger or smaller?💡 同じ圧力差を支えるのに、重い液と軽い液ではどちらが高い液柱を必要とするでしょうか。管内の水も液柱の上に乗っていることに注意しましょう。To balance the same pressure difference, does a heavy liquid or a light liquid need a taller column? Remember that the water in the pipe also sits on top of the manometer liquid.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「上流流速 v₁」= 1.0 m/s、「断面積比 A₁/A₂」= 2.5、「マノメータ液の密度 ρₘ」= 13600 kg/m³(水銀))で、くびれ部の粒子の速さと流線の間隔、上のグラフの静圧 p(x) と立管の水面、表の v と p を観察する。止めたいときは「停止」、再開は「開始」を押す。In the starting state ("Upstream speed v₁" = 1.0 m/s, "Area ratio A₁/A₂" = 2.5, "Manometer liquid density ρₘ" = 13600 kg/m³ (Mercury)), observe the particle speed and streamline spacing in the throat, the static pressure p(x) graph and standpipe water levels at the top, and the v and p values in the table. Press "Pause" to stop and "Play" to resume.
2. 「上流流速 v₁」を 2.0 m/s にして、v₂、Δp、h が何倍になったか記録する。Set "Upstream speed v₁" to 2.0 m/s and record by what factor v₂, Δp, and h changed.
3. v₁ を 1.0 m/s に戻し、「断面積比 A₁/A₂」を 1.5 → 5.0 と変えて、表の ② くびれの A/A₁、v、p と、h の値を記録する。Return v₁ to 1.0 m/s, change "Area ratio A₁/A₂" to 1.5 → 5.0, and record A/A₁, v, and p for "② Throat" in the table and the value of h.
4. A₁/A₂ = 2.5 に戻し、「水銀 13600」「四塩化炭素 1590」「濃い食塩水 1200」のボタンを順に押して、Δp と h の変化を比べる。Return A₁/A₂ to 2.5, then press the "Mercury 13600", "CCl₄ 1590", and "Salt water 1200" buttons in turn and compare Δp and h.

3確かめようCheck

1. 最初の状態で、くびれ部の流速と圧力、U字管の液面差はいくらでしたか。下流 ③ はどうでしたか。In the starting state, what were the speed and pressure in the throat and the U-tube level difference? What about ③ downstream?→ ② くびれでは A/A₁ = 0.400、v = 2.50 m/s、p = 117.375 kPa(低圧)で、Δp = ½×1000×(2.50² − 1.00²) = 2625 Pa、h = 2625/((13600 − 1000)×9.8) ≈ 2.13 cm だった。③ 下流は断面積が ① と同じなので v = 1.00 m/s、p = 120.000 kPa に戻った。At "② Throat", A/A₁ = 0.400, v = 2.50 m/s, and p = 117.375 kPa (low), giving Δp = ½×1000×(2.50² − 1.00²) = 2625 Pa and h = 2625/((13600 − 1000)×9.8) ≈ 2.13 cm. At ③ downstream the cross-section equals ①, so v = 1.00 m/s and p = 120.000 kPa again.
2. v₁ を 1.0 m/s から 2.0 m/s にすると、v₂、Δp、h はそれぞれ何倍になりましたか。When v₁ went from 1.0 m/s to 2.0 m/s, by what factor did v₂, Δp, and h each change?→ v₂ は 2.50 → 5.00 m/s で2倍、Δp は 2625 → 10500 Pa で4倍、h は 2.13 → 8.50 cm で4倍になった。Δp は速さの2乗に比例するため。v₂ went from 2.50 to 5.00 m/s (2 times), Δp from 2625 to 10500 Pa (4 times), and h from 2.13 to 8.50 cm (4 times), because Δp is proportional to the square of the speed.
3. 断面積比 A₁/A₂ を 1.5 と 5.0 にしたとき、くびれ部の値はどうなりましたか。What were the throat values with area ratio A₁/A₂ = 1.5 and 5.0?→ 1.5 では v₂ = 1.50 m/s、Δp = 625 Pa、h ≈ 0.51 cm。5.0 では A/A₁ = 0.200、v₂ = 5.00 m/s、p₂ = 108.000 kPa、Δp = 12000 Pa、h ≈ 9.72 cm。くびれが細いほど速く、圧力が大きく下がった。At 1.5: v₂ = 1.50 m/s, Δp = 625 Pa, h ≈ 0.51 cm. At 5.0: A/A₁ = 0.200, v₂ = 5.00 m/s, p₂ = 108.000 kPa, Δp = 12000 Pa, h ≈ 9.72 cm. The narrower the throat, the faster the flow and the larger the pressure drop.
4. マノメータ液を替えると、Δp と h はどうなりましたか。What happened to Δp and h when the manometer liquid was changed?→ Δp は 2625 Pa のまま変わらず、h だけが変わった。水銀で 2.13 cm、四塩化炭素で 45.40 cm、濃い食塩水で 1.339 m。h は (ρₘ − ρ) に反比例するので、管内の水(1000 kg/m³)に密度が近い液ほど h が大きくなる。Δp stayed at 2625 Pa; only h changed: 2.13 cm with mercury, 45.40 cm with CCl₄, and 1.339 m with salt water. h is inversely proportional to (ρₘ − ρ), so a liquid whose density is closer to the water in the pipe (1000 kg/m³) gives a larger h.

4考えようThink further

1. この装置を流量計として使うには、マノメータの h から上流流速 v₁ をどう求めればよいでしょうか。To use this device as a flow meter, how can you find the upstream speed v₁ from the manometer reading h?→ (ρₘ − ρ)gh = Δp = ½ρv₁²{(A₁/A₂)² − 1} なので、v₁ = √[2(ρₘ − ρ)gh / (ρ{(A₁/A₂)² − 1})]。流量は Q = A₁v₁。例えば水銀で h = 2.13 cm、A₁/A₂ = 2.5 なら v₁ ≈ 1.0 m/s となり、シミュレーションの設定と一致する。Since (ρₘ − ρ)gh = Δp = ½ρv₁²{(A₁/A₂)² − 1}, v₁ = √[2(ρₘ − ρ)gh / (ρ{(A₁/A₂)² − 1})], and the flow rate is Q = A₁v₁. For example, with mercury, h = 2.13 cm and A₁/A₂ = 2.5 give v₁ ≈ 1.0 m/s, matching the simulation setting.
2. 流れが小さいとき(Δp が小さいとき)に精度よく測るには、マノメータ液をどう選べばよいでしょうか。逆に流れが大きいときはどうでしょうか。To measure accurately when the flow (and Δp) is small, how should you choose the manometer liquid? What about when the flow is large?→ Δp が小さいときは、水に近い密度の液(四塩化炭素や濃い食塩水)を使うと h が大きくなり読み取りやすい。Δp が大きいときは水銀のような重い液にしないと h が装置に収まらない(v₁ = 3.0 m/s、A₁/A₂ = 5.0 では水銀でも h ≈ 87 cm になった)。When Δp is small, a liquid with density close to water (CCl₄ or salt water) gives a larger h that is easier to read. When Δp is large, you need a heavy liquid such as mercury, or h will not fit in the device (at v₁ = 3.0 m/s and A₁/A₂ = 5.0, h was about 87 cm even with mercury).

よくある誤解Common misconceptions

• 「管が細い所は流れが押し込まれて圧力が高い」という誤解。くびれ部では流速が上がり、静圧は最も低くなる(マノメータの ② 側の液面が上がる)。"The fluid is squeezed in the narrow part, so its pressure is high." In the throat the speed increases and the static pressure is the lowest (the liquid on the ② side of the manometer rises).
• 「流れて先に進むほど圧力は下がり続ける」という誤解。理想流体では損失がないので、断面積が元に戻る下流 ③ では速さも圧力も上流 ① と同じ値に戻る。"The pressure keeps dropping as the fluid moves along the pipe." For an ideal fluid with no losses, the speed and pressure at ③ downstream, where the cross-section is back to its original size, return to the same values as at ①.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)