中間軸定理シミュレータ（ヤニベコフ効果）Intermediate Axis Theorem Simulator (Dzhanibekov Effect)

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 直方体を長辺軸(I₁)・中辺軸(I₂)・短辺軸(I₃)のどれかのまわりにほぼまっすぐ回し始めます。わずかにずれた回転を与えたとき、回転がくずれて宙返りしてしまうのはどの軸だと思いますか。You start a box spinning almost exactly about its long axis (I₁), middle axis (I₂), or short axis (I₃). If the spin is slightly off, about which axis do you think the motion will break down and the box will flip over?💡 外からトルクが働かないので、エネルギー E と角運動量 |L| の両方が保存されます。3つの軸で何か違いがあるとしたら、どこに理由がありそうでしょうか。With no outside torque, both the energy E and the angular momentum |L| are conserved. If the three axes behave differently, where might the reason lie?
2. 最初のずれ(擾乱角 ε)を小さくしていくと、宙返りが起こるまでの時間はどう変わると思いますか。If you make the initial disturbance (tilt angle ε) smaller and smaller, how do you think the time until a flip will change?💡 小さなずれが毎秒一定の「倍率」で大きくなっていくとしたら、ずれを 1/10 にしたとき追いつくのに余分にかかる時間を考えてみましょう。If a small deviation grows by the same factor every second, think about how much extra time it takes to catch up when the deviation starts 10 times smaller.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「I₂ 中辺軸」が選択、「擾乱角 ε」= 2.0°)で観察する。黄色の「L(不変)」矢印が真上に固定されたまま、直方体が回りながら緑の I₂ 軸の向きが周期的に反転することと、下の「物体系の角速度 ω₁ ω₂ ω₃」グラフで緑の ω₂ の符号が入れ替わることを確認する。見づらければ「時間倍率」を上げるか「一時停止」する。Start from the initial state ("I₂ middle axis" selected, "Tilt angle ε" = 2.0°). Check that the yellow "L (fixed)" arrow stays pointing straight up while the box spins and the green I₂ axis repeatedly turns over, and that in the "Body spin rates ω₁ ω₂ ω₃" graph at the bottom the green ω₂ changes sign. Raise "Time speed" or press "Pause" if it is hard to follow.
2. 右のパネルで「宙返り回数」「反転間隔」「軸とLの角」を読み、あわせて「E/E₀−1」と「|L|/|L₀|−1」がほぼ 0 % のままであることを確かめる。Read "Flips", "Flip interval", and "Axis–L angle" in the right panel, and also check that "E/E₀−1" and "|L|/|L₀|−1" stay at almost 0 %.
3. 「I₁ 長辺軸」、次に「I₃ 短辺軸」のボタンを押し、「擾乱角 ε」を 10° まで上げてしばらく再生する。「宙返り回数」と「軸とLの角」を記録する。Press the "I₁ long axis" button, then the "I₃ short axis" button, raise "Tilt angle ε" to 10°, and let each run for a while. Record "Flips" and "Axis–L angle".
4. 「I₂ 中辺軸」に戻し、「擾乱角 ε」を 10° → 2° → 0.5° → 0.1° → 0° と変えて、それぞれ数回宙返りするまで待ち、「反転間隔」を表にまとめる(ε を変えるたびに最初からやり直しになる)。Go back to "I₂ middle axis" and set "Tilt angle ε" to 10° → 2° → 0.5° → 0.1° → 0°. For each value, wait for several flips and make a table of the "Flip interval" (each change of ε restarts the motion).

3確かめようCheck

1. 宙返りが起こったのはどの軸を選んだときでしたか。ほかの軸ではどうなりましたか。Which axis choice produced flips? What happened with the other axes?→ 宙返りしたのは「I₂ 中辺軸」のときだけ。I₁ と I₃ では ε = 10° にしても「宙返り回数」は 0 のままで、軸は L のまわりを小さく歳差・秤動するだけだった(「軸とLの角」は I₁ で 20° 程度、I₃ で 10° 以下にとどまった)。「成長率 λ」も I₁・I₃ では「虚数(安定)」と表示される。Only "I₂ middle axis" produced flips. With I₁ and I₃, even at ε = 10°, "Flips" stayed at 0 and the axis only made small precession/nutation wobbles around L ("Axis–L angle" stayed around 20° for I₁ and under 10° for I₃). "Growth rate λ" also shows "imaginary (stable)" for I₁ and I₃.
2. 中間軸で宙返りしている間、エネルギーと角運動量の大きさ、L の向きはどうなっていましたか。While the body flipped about the intermediate axis, what happened to the energy, the size of the angular momentum, and the direction of L?→ 「E/E₀−1」と「|L|/|L₀|−1」は 10⁻¹⁰ % 程度でほぼ 0、「L方向ずれ」も 0.000° のままだった。外力のトルクがないので E と L(大きさも向きも)は保存され、宙返りしても L の矢印は真上に固定されている。ひっくり返るのは物体の向きのほうである。"E/E₀−1" and "|L|/|L₀|−1" were about 10⁻¹⁰ %, essentially 0, and "L drift" stayed at 0.000°. With no external torque, E and L (both size and direction) are conserved, so the L arrow stays pointing up during the flips; it is the body's orientation that turns over.
3. ε を小さくしていくと「反転間隔」はどう変わりましたか。ε = 0° ではどうでしたか。How did the "Flip interval" change as ε was made smaller? What happened at ε = 0°?→ ε = 10° で約 5.1、2° で約 7.3、0.5° で約 9.2、0.1° で約 11.4 と、ε を 1/10 にするごとにほぼ一定量(約 3.2)ずつ伸びた。これは間隔が ln(1/ε) に比例して伸びる「対数的」な増え方である。ε = 0° では「宙返り回数」が 0 のままで、宙返りは起きなかった。It was about 5.1 at ε = 10°, 7.3 at 2°, 9.2 at 0.5°, and 11.4 at 0.1°: each time ε becomes 10 times smaller, the interval grows by about the same amount (about 3.2). This is logarithmic growth, proportional to ln(1/ε). At ε = 0°, "Flips" stayed at 0 and no flip happened.
4. 宙返りのとき、下の角速度グラフの ω₁ ω₂ ω₃ はどう変化していましたか。During a flip, how did ω₁ ω₂ ω₃ in the spin-rate graph at the bottom change?→ ふだんは ω₂ がほぼ一定で大きく、ω₁ と ω₃ は小さい。宙返りのときには ω₁ と ω₃ が一時的に大きくなり、その間に ω₂ の符号が反転する。物体から見ると回転の向きが逆になったことを意味する。Most of the time ω₂ is large and nearly constant while ω₁ and ω₃ are small. During a flip ω₁ and ω₃ briefly become large while ω₂ changes sign, which means that, seen from the body, the spin direction has reversed.

4考えようThink further

1. オイラーの方程式から、なぜ中間軸だけが不安定になるのか説明してみましょう。Using Euler's equations, explain why only the intermediate axis is unstable.→ 主軸 k まわりの回転に小さなずれを与えて線形化すると、ずれは λ² = (I_k−I_a)(I_b−I_k)/(I_a I_b)·ω₀² に従う(I_a, I_b は他の2軸)。I_k が最小や最大なら λ² < 0 で振動(安定)するが、I_k が中間なら λ² > 0 となり、ずれが e^{λt} で指数関数的に成長する。このシミュレーションでは λ ≈ 1.44 と表示される。成長したずれは E と |L| の保存のために無限には大きくならず、反対側の向きまで行って戻る、つまり周期的な宙返りになる。Linearizing Euler's equations for a small deviation from spin about principal axis k gives λ² = (I_k−I_a)(I_b−I_k)/(I_a I_b)·ω₀², where I_a and I_b are the other two axes. If I_k is the smallest or largest, λ² < 0 and the deviation just oscillates (stable). If I_k is intermediate, λ² > 0 and the deviation grows like e^{λt}; the simulation shows λ ≈ 1.44. Conservation of E and |L| keeps the deviation from growing forever, so the body swings to the opposite orientation and back: a periodic flip.
2. ずれが e^{λt} で成長するとき、宙返りまでの時間が ε の対数で伸びるのはなぜでしょうか。If the deviation grows like e^{λt}, why does the time until a flip grow with the logarithm of ε?→ ずれ ε·e^{λt} がある一定の大きさに達したとき宙返りが起こるとすると、かかる時間は t ≈ (1/λ)ln(定数/ε)。ε を 1/10 にすると t は ln10/λ だけ増える(往復の反転間隔では約 2ln10/λ ≈ 3.2)。ε → 0 では時間が無限大になり、ε = 0 では宙返りが起きない。If a flip happens when ε·e^{λt} reaches a fixed size, the time needed is t ≈ (1/λ)ln(constant/ε). Making ε 10 times smaller adds ln10/λ (about 2ln10/λ ≈ 3.2 for the flip interval, which includes the way out and back). As ε → 0 the time goes to infinity, and at ε = 0 there is no flip.

よくある誤解Common misconceptions

• 「宙返りするのは外から何か力(トルク)が加わったから」という誤解。宙返り中も E と L は保存されており、外部トルクなしで起こる自由回転そのものの性質である。"The body flips because some outside force (torque) acts on it." E and L stay conserved during the flips; the flip is a property of torque-free rotation itself.
• 「宙返りのとき角運動量の向きも反転する」という誤解。L は慣性系で不変(画面で真上に固定)で、反転するのは物体の軸の向き(物体系での ω₂ の符号)である。"The angular momentum also reverses during a flip." L stays fixed in space (straight up on the screen); what reverses is the orientation of the body's axis (the sign of ω₂ in the body frame).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)