ばね結合2振り子の基準振動とビートCoupled Pendulums: Normal Modes and Beats

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 2つの振り子を同じ向きに同じ角度だけ傾けて放す(同位相)と、ばねで結ばれていない1つの振り子と比べて周期はどうなると思いますか。逆向きに傾けて放す(逆位相)場合はどうでしょうか。If you tilt both pendulums by the same angle in the same direction and let go (in-phase), how do you think the period compares with a single pendulum without a spring? What about tilting them in opposite directions (anti-phase)?💡 それぞれの場合に、おもりの間隔(ばねの長さ)が変わるかどうかを考えましょう。In each case, think about whether the distance between the bobs (the spring's length) changes.
2. 振り子1だけを傾けて放し、振り子2は静止させておくと、その後それぞれの振り子の振れ幅はどうなると思いますか。If you tilt only pendulum 1 and let go while pendulum 2 starts at rest, how do you think the amplitude of each pendulum will change afterward?💡 ばねは振り子1の動きを振り子2に伝えます。エネルギーがどこへ行くかに注目しましょう。The spring passes pendulum 1's motion to pendulum 2. Pay attention to where the energy goes.

2動かしてみようTry it

1. 「ばね定数比 k/m」= 1.00 s⁻²、「初期変位 θ₀」= 15° のまま「同位相モード」ボタンを押す。ばねの「伸び」の表示と自然長の破線、θ₁ の実測周期と全系エネルギーを読む。Keeping "Spring ratio k/m" = 1.00 s⁻² and "Start angle θ₀" = 15°, press the "In-phase mode" button. Read the spring's "stretch" label against the dashed natural length, the measured period of θ₁, and the total energy.
2. 「逆位相モード」ボタンを押し、ばねの伸び・縮みの表示と θ₁ の実測周期を読み、同位相モードと比べる。Press the "Anti-phase mode" button, read the spring's stretched/squeezed label and the measured period of θ₁, and compare them with the in-phase mode.
3. 「片押し（ビート）」ボタンを押し、右側の E₁・E₂・全系のエネルギーバーと下のグラフを約20秒観察する。θ₁ の振幅がほぼ 0 になったときの「実測」の時間を、理論 π/Δω と比べる。Press the "Push one (beats)" button and watch the E₁, E₂ and total energy bars on the right and the graph below for about 20 s. Compare the "measured" time when the θ₁ amplitude becomes almost 0 with the theoretical π/Δω.
4. 「ばね定数比 k/m」スライダーを 0.10 と 2.00 に変え、ω₋、ω₊、理論 π/Δω の表示がどう変わるかを記録する(k/m = 2.00 では片押しの実測値も読む)。Move the "Spring ratio k/m" slider to 0.10 and to 2.00, and record how the ω₋, ω₊ and theoretical π/Δω readouts change (at k/m = 2.00, also read the measured value for the single push).

3確かめようCheck

1. 同位相モードのとき、ばねはどうなっていましたか。周期はいくらでしたか。In the in-phase mode, what did the spring do? What was the period?→ ばねの表示は常に「伸び 0.0 cm」で、自然長の破線と一致したまま、2つの振り子は θ₁ = θ₂ でそろって振れた。ばねのエネルギーも 0.0 mJ。実測周期は 2.007 s で、単振り子の 2π/√(g/L) = 2.007 s(ω₋ = 3.130 rad/s)と一致した。The spring label stayed at "stretch 0.0 cm", matching the dashed natural length, and the two pendulums swung together with θ₁ = θ₂. The spring energy was 0.0 mJ. The measured period was 2.007 s, the same as a single pendulum, 2π/√(g/L) = 2.007 s (ω₋ = 3.130 rad/s).
2. 逆位相モードの周期は同位相モードと比べてどうでしたか。How did the period of the anti-phase mode compare with the in-phase mode?→ 短かった。実測 1.829 s で、理論 2π/ω₊ = 1.829 s(ω₊ = 3.435 rad/s)と一致した。ばねは最大で約 20 cm 伸び縮みし、ばねの力が復元力に加わるため速く振動する。It was shorter: measured 1.829 s, matching the theoretical 2π/ω₊ = 1.829 s (ω₊ = 3.435 rad/s). The spring stretched and squeezed by up to about 20 cm, and its force adds to the restoring force, so the oscillation is faster.
3. 片押し(ビート)では、エネルギーはどのように移り、θ₁ の振幅がほぼ 0 になるまでどれくらいかかりましたか。With the single push (beats), how did the energy move, and how long did it take for the θ₁ amplitude to become almost 0?→ 最初はほぼすべて E₁(約 330 mJ)にあり、しだいに E₂ に移って約10秒後には E₁ が約 20 mJ、E₂ が約 320 mJ になり、その後また E₁ に戻った。全系は 370.11 mJ のまま一定。θ₁ の振幅がほぼ 0 になる実測時間は 10.33 s で、理論 π/Δω = 10.31 s とほぼ一致した。At first almost all the energy was in E₁ (about 330 mJ). It gradually moved to E₂, so after about 10 s E₁ was about 20 mJ and E₂ about 320 mJ, and then it moved back to E₁. The total stayed constant at 370.11 mJ. The measured time for the θ₁ amplitude to reach almost 0 was 10.33 s, very close to the theoretical π/Δω = 10.31 s.
4. k/m を 0.10 や 2.00 に変えると、ω₋ と ω₊ はどう変わりましたか。When you changed k/m to 0.10 or 2.00, how did ω₋ and ω₊ change?→ ω₋ は 3.130 rad/s のまま変わらなかった。ω₊ は k/m = 0.10 で 3.162 rad/s、2.00 で 3.715 rad/s と、k/m を大きくすると逆位相モードだけが速くなった。理論 π/Δω は k/m = 0.10 で 98.85 s と非常に長く、2.00 では 5.38 s(実測 5.42 s)と短くなった。ω₋ stayed at 3.130 rad/s. ω₊ was 3.162 rad/s at k/m = 0.10 and 3.715 rad/s at 2.00, so only the anti-phase mode got faster as k/m increased. The theoretical π/Δω was very long, 98.85 s, at k/m = 0.10 and short, 5.38 s (measured 5.42 s), at 2.00.

4考えようThink further

1. ばねを弱くするほど、エネルギーがもう一方の振り子に移るまでの時間が長くなるのはなぜでしょうか。Why does it take longer for the energy to move to the other pendulum when the spring is weaker?→ 片押しの運動は振幅の等しい2つの基準振動の重ね合わせで、2つのモードの位相差が (ω₊−ω₋)t で少しずつずれていく。位相差が π ずれると振り子1では2つのモードが打ち消し合い、振り子2では強め合う。ばねが弱いと ω₊ と ω₋ の差 Δω が小さいので、π ずれるまでの時間 π/Δω が長くなる。The single-push motion is a superposition of two normal modes with equal amplitudes, and their phase difference slowly drifts as (ω₊−ω₋)t. When the phase difference reaches π, the two modes cancel at pendulum 1 and add up at pendulum 2. A weaker spring makes the difference Δω between ω₊ and ω₋ smaller, so the time π/Δω needed to drift by π becomes longer.
2. 同位相モードの振動数が k/m によらないことは、ばねの伸びの観察とどう結びつきますか。How is the fact that the in-phase frequency does not depend on k/m connected to what you saw of the spring's stretch?→ 同位相モードでは θ₁ = θ₂ なので、運動方程式の結合項 −(k/m)(θ₁−θ₂) が 0 になり、ばねは伸びも縮みもせず力を出さない(「伸び 0.0 cm」)。そのため各振り子は重力だけで振れる単振り子と同じになり、ω₋ = √(g/L) は k/m に関係しない。In the in-phase mode θ₁ = θ₂, so the coupling term −(k/m)(θ₁−θ₂) in the equations of motion is 0, and the spring neither stretches nor squeezes and exerts no force ("stretch 0.0 cm"). Each pendulum then behaves like a simple pendulum moved only by gravity, so ω₋ = √(g/L) does not depend on k/m.

よくある誤解Common misconceptions

• 「ばねで結ぶと、どんな振り方でも振り子は速くなる」という誤解。同位相モードではばねが伸び縮みしないので、振動数は単振り子と同じ √(g/L) のままである。"Joining the pendulums with a spring makes them faster no matter how they swing." In the in-phase mode the spring does not stretch, so the frequency stays at the simple-pendulum value √(g/L).
• 「振り子1が止まったときにエネルギーが失われている」という誤解。全系エネルギーは一定(例: 370.11 mJ)で、そのエネルギーは振り子2に移っているだけである。"Energy is lost when pendulum 1 stops." The total energy stays constant (for example 370.11 mJ); the energy has simply moved to pendulum 2.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)