連成振動と基準振動（2質点・3ばね）Coupled Oscillators and Normal Modes (2 masses, 3 springs)

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 2つの質点を同じ向きに同じだけずらして放す(r = +1)場合と、逆向きに同じだけずらして放す(r = −1)場合では、どちらの振動が速い(周期が短い)と思いますか。Compare releasing both masses displaced by the same amount in the same direction (r = +1) with releasing them displaced by the same amount in opposite directions (r = −1). Which oscillation do you think is faster (shorter period)?💡 それぞれの場合に、真ん中の結合ばね kc が伸び縮みするかどうかを考えましょう。In each case, think about whether the middle coupling spring kc gets stretched or compressed.
2. 質点1だけをずらし、質点2は止めたまま放す(r = 0)と、その後の2つの質点の動きはどうなると思いますか。If you displace only mass 1 and release it while mass 2 is held still at first (r = 0), how do you think the two masses will move afterward?💡 質点1が動くと結合ばねを通して質点2に力が伝わります。エネルギーの行き先を考えましょう。When mass 1 moves, the coupling spring passes a force to mass 2. Think about where the energy goes.

2動かしてみようTry it

1. 最初の状態(「結合 kc」= 1.5 N/m、「質量 m」= 1.0 kg、k = 10 N/m)で「r=+1」ボタンを押し、中央の結合ばねの Δ と「距離 x₂−x₁」の値、ω₁ の行の「実測」周期を読む。In the starting state ("Coupling kc" = 1.5 N/m, "Mass m" = 1.0 kg, k = 10 N/m), press the "r=+1" button. Read the Δ of the middle coupling spring, the "Gap x₂−x₁" value, and the "measured" period in the ω₁ line.
2. 「r=−1」ボタンを押し、同じく「距離 x₂−x₁」の変化と ω₂ の行の「実測」周期を読み、理論値 T₂ と比べる。Press the "r=−1" button and, in the same way, read how "Gap x₂−x₁" changes and the "measured" period in the ω₂ line, and compare it with the theoretical T₂.
3. 「r=0」ボタンを押し、約15秒間、x₁(t), x₂(t) のグラフ、「局所エネルギー E₁, E₂」のグラフ、右の「運動E」の棒(K₁, K₂)を観察する。緑の破線の間隔と「うなり周期」の表示を比べる。Press the "r=0" button and watch the x₁(t), x₂(t) graph, the "Energy of each mass E₁, E₂" graph, and the "KE" bars (K₁, K₂) on the right for about 15 s. Compare the spacing of the green dashed lines with the "Beat period" readout.
4. 「結合 kc」スライダーを 0、1.5、5.0 N/m と変え、ω₁, ω₂ とうなり周期の表示がどう変わるかを記録する。Move the "Coupling kc" slider to 0, 1.5, and 5.0 N/m, and record how the ω₁, ω₂ and beat period readouts change.
5. 「質量 m」スライダーを 4.0 kg にして、ω₁ と ω₂ がどう変わるか確かめる。必要なら「一時停止」「リセット」を使う。Set the "Mass m" slider to 4.0 kg and check how ω₁ and ω₂ change. Use "Pause" and "Reset" as needed.

3確かめようCheck

1. r = +1 のとき、結合ばねと質点間の距離はどうなっていましたか。振動の周期はいくらでしたか。With r = +1, what happened to the coupling spring and the gap between the masses? What was the period?→ 結合ばねの Δ は常に 0.0 cm、「距離 x₂−x₁」も 0.00 cm のままで、2つの質点は一体となって動いた。実測周期は 1.987 s で、理論値 T₁ = 2π/√(k/m) = 1.987 s(ω₁ = 3.162 rad/s)と一致した。The coupling spring's Δ stayed at 0.0 cm and "Gap x₂−x₁" stayed at 0.00 cm, so the two masses moved together as one. The measured period was 1.987 s, matching the theoretical T₁ = 2π/√(k/m) = 1.987 s (ω₁ = 3.162 rad/s).
2. r = −1 のときの周期は r = +1 のときと比べてどうでしたか。How did the period with r = −1 compare with the period for r = +1?→ 短くなった。実測 1.743 s で理論値 T₂ = 1.743 s(ω₂ = √((k+2kc)/m) = 3.606 rad/s)と一致した。距離 x₂−x₁ は約 −20〜+20 cm の範囲で変化し続け、結合ばねが大きく伸び縮みした。It was shorter: measured 1.743 s, matching the theoretical T₂ = 1.743 s (ω₂ = √((k+2kc)/m) = 3.606 rad/s). The gap x₂−x₁ kept changing between about −20 and +20 cm, and the coupling spring stretched and compressed strongly.
3. r = 0 のとき、エネルギーは2つの質点の間でどのように移りましたか。With r = 0, how did the energy move between the two masses?→ 最初は E₁ だけが大きく、約7秒後には E₁ がほぼ 0 になって E₂ が最大になり、約14秒後に再び E₁ に戻った。この往復の周期は表示の「うなり周期」14.175 s = 2π/|ω₂−ω₁| と一致し、緑の破線の間隔もこの値になっている。x₁(t), x₂(t) のグラフでは振幅が交互に大きくなるうなりが見えた。At first only E₁ was large. After about 7 s E₁ was almost 0 and E₂ was at its maximum, and after about 14 s the energy was back in E₁. This back-and-forth period matches the displayed "Beat period" 14.175 s = 2π/|ω₂−ω₁|, which is also the spacing of the green dashed lines. The x₁(t), x₂(t) graph shows beats, with the two amplitudes growing large in turn.
4. kc と m を変えると、ω₁, ω₂ とうなり周期はどう変わりましたか。How did ω₁, ω₂ and the beat period change when you changed kc and m?→ kc を変えても ω₁ = 3.162 rad/s は変わらず、ω₂ だけが変わった(kc = 5.0 で ω₂ = 4.472 rad/s、うなり周期 4.797 s)。kc = 0 では ω₁ = ω₂ となり、うなり周期は ∞(結合なし)。m = 4.0 kg(kc = 5.0)では ω₁ = 1.581 rad/s、ω₂ = 2.236 rad/s と両方とも 1/2 になった。Changing kc left ω₁ = 3.162 rad/s unchanged and changed only ω₂ (at kc = 5.0, ω₂ = 4.472 rad/s and the beat period is 4.797 s). At kc = 0, ω₁ = ω₂ and the beat period is ∞ (no coupling). At m = 4.0 kg (kc = 5.0), ω₁ = 1.581 rad/s and ω₂ = 2.236 rad/s, so both became half as large.

4考えようThink further

1. 同位相モードの角振動数が kc によらず √(k/m) になるのはなぜでしょうか。Why is the angular frequency of the in-phase mode √(k/m) regardless of kc?→ 同位相モードでは x₁ = x₂ なので結合ばねの伸び x₂ − x₁ が常に 0 で、結合ばねは力を出さない。各質点には壁側のばね k の力だけが働くので、単独のばね振り子と同じ √(k/m) になる。逆位相モードでは x₂ = −x₁ となり、結合ばねは 2x₁ 伸びるので復元力が −(k+2kc)x₁ に増え、振動数が高くなる。In the in-phase mode x₁ = x₂, so the coupling spring's extension x₂ − x₁ is always 0 and it exerts no force. Each mass feels only its wall spring k, so the frequency is the same as a single spring oscillator, √(k/m). In the out-of-phase mode x₂ = −x₁, the coupling spring is stretched by 2x₁, so the restoring force grows to −(k+2kc)x₁ and the frequency is higher.
2. r = 0 の運動が2つの基準振動の重ね合わせであることを、うなり周期の式 2π/|ω₂−ω₁| から説明しましょう。Using the beat period formula 2π/|ω₂−ω₁|, explain why the r = 0 motion is a superposition of the two normal modes.→ x₁(0) = A, x₂(0) = 0 は、同位相モード (A/2, A/2) と逆位相モード (A/2, −A/2) の和である。2つのモードは角振動数がわずかに違うので位相差が (ω₂−ω₁)t で少しずつずれ、x₁ では強め合い→打ち消し合い、x₂ ではその逆が起こる。位相差が 2π ずれるのにかかる時間が 2π/|ω₂−ω₁| なので、これがエネルギー往復の周期になる。x₁(0) = A, x₂(0) = 0 is the sum of the in-phase mode (A/2, A/2) and the out-of-phase mode (A/2, −A/2). Because the two modes have slightly different angular frequencies, their phase difference drifts as (ω₂−ω₁)t: at x₁ they go from adding up to canceling, and at x₂ the opposite happens. The time for the phase difference to drift by 2π is 2π/|ω₂−ω₁|, which is the period of the energy exchange.

よくある誤解Common misconceptions

• 「結合ばねを強くすると、すべての振動が速くなる」という誤解。結合ばねが伸び縮みしない同位相モードの振動数は kc によらず一定で、速くなるのは逆位相モードだけである。"A stiffer coupling spring makes every oscillation faster." The in-phase mode, where the coupling spring never stretches, keeps the same frequency for any kc; only the out-of-phase mode gets faster.
• 「連成振動はいつも複雑で、決まった振動数をもたない」という誤解。どんな運動も2つの基準振動(それぞれ決まった振動数をもつ単振動)の重ね合わせで表せ、r = ±1 ではそのうち1つだけになる。"Coupled oscillations are always messy and have no definite frequency." Any motion is a superposition of two normal modes, each a simple harmonic motion with a definite frequency, and with r = ±1 only one of them is present.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)