球充填モデルで見るBCC/FCC：最密平面の積み重ねと充填率BCC/FCC Sphere Packing: Stacking Close-Packed Layers and Packing Fraction

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 格子の大きさ a を固定したまま球の半径 r だけを大きくしていくと、充填率（APF）の計算値はどうなると思いますか。どこまでも大きくしてよいでしょうか。If you keep the lattice size a fixed and only make the sphere radius r larger, what do you think happens to the calculated packing fraction (APF)? Can you keep making r larger forever?💡 球どうしが接したあとさらに大きくすると、球はどうなるでしょうか。After the spheres touch, what would happen to them if they got even bigger?
2. 同じ大きさの球を平面にすき間なく並べた層を、くぼみに合わせて3層積むとき、3層目の置き方は何通り考えられるでしょうか。When you stack three layers of equal spheres, each packed flat with no gaps and each layer sitting in the hollows of the one below, how many ways are there to place the third layer?💡 2層目の球のくぼみの真下に、1層目の球があるところとないところがあります。Some hollows in layer 2 sit right above a sphere of layer 1, and some do not.

2動かしてみようTry it

1. 「FCC 面心立方」「単位胞」「格子固定（r₀=1.25で接触）」の状態で、金色の線（面対角線）上の球が接していることを確かめ、「球どうし」「接触方向の確認」「単位胞内の原子数」「APF 計算値」を記録する。キャンバスをドラッグして回転させてもよい。With "FCC face-centered cubic", "Unit cell", and "Fixed lattice (touching at r₀=1.25)" selected, confirm that the spheres on the gold line (face diagonal) touch, and record "Spheres", "Check the touching line", "Atoms per unit cell", and "APF (calculated)". You can drag the canvas to rotate the view.
2. 格子固定のまま「球の半径 r」スライダーを 1.10 と 1.40 にして、「球どうし」の表示（すき間・ちょうど接触・重なり）と「APF 計算値」「判定」の変化を記録する。Keeping the fixed lattice, set the "Sphere radius r" slider to 1.10 and then 1.40, and record how "Spheres" (gap / just touching / overlap), "APF (calculated)", and "Result" change.
3. 「r に追従（常に接触）」に切り替えて r を動かし、APF が変わるかを確かめる。次に「BCC 体心立方」を押し、接触方向（体対角線）と原子数・APF を FCC と比べる。Switch to "Follow r (always touching)" and move r to see whether the APF changes. Then press "BCC body-centered cubic" and compare the touching direction (body diagonal), atoms per cell, and APF with FCC.
4. 「FCC 面心立方」に戻して「最密平面の積層」を押し、「層を積む枚数」を 4 層にして、「3層目の置き方」で「C位置 ABC…（ccp/fcc）」と「A位置 ABAB…（hcp）」を切り替え、「積層順」の表示を比べる。Return to "FCC face-centered cubic", press "Stacking close-packed layers", set "Number of layers" to 4, and switch "Where to put layer 3" between "C site ABC… (ccp/fcc)" and "A site ABAB… (hcp)", comparing the "Stacking order" readout.
5. それぞれの積み方で「上から見る」を押し、真上から見たときに球のすき間から下の層の何色（赤=A、青=B、緑=C）が見えるかを比べる。For each stacking, press "Top view" and compare which colors of the lower layers (Red=A, Blue=B, Green=C) can be seen through the gaps between spheres when viewed from directly above.

3確かめようCheck

1. 格子固定（FCC）で r を 1.10、1.25、1.40 にしたとき、球どうしの状態と APF 計算値はどうなりましたか。With the fixed lattice (FCC), what were the sphere contact state and the calculated APF at r = 1.10, 1.25, and 1.40?→ r = 1.10 では「すき間 0.300」で APF ≈ 0.505、r = 1.25 では「ちょうど接触」で APF ≈ 0.7405（理論値と一致）、r = 1.40 では「重なり 0.300」で APF ≈ 1.04（>1：非物理）になった。重なっている部分を二重に数えるので見かけの値が 1 を超える。At r = 1.10: "gap 0.300", APF ≈ 0.505. At r = 1.25: "just touching", APF ≈ 0.7405 (matches the theory). At r = 1.40: "overlap 0.300", APF ≈ 1.04 (>1: not physical). The overlapping parts are counted twice, so the apparent value exceeds 1.
2. 「r に追従」にしたとき、FCC と BCC の APF はどうなりましたか。単位胞内の原子数はそれぞれいくつでしたか。With "Follow r", what were the APFs of FCC and BCC? How many atoms per unit cell did each have?→ r をいくつにしても FCC は 0.7405、BCC は 0.6802 で一定だった。原子数は FCC が 8×1/8 + 6×1/2 = 4 個、BCC が 8×1/8 + 1×1 = 2 個。No matter what r was, FCC stayed at 0.7405 and BCC at 0.6802. FCC has 8×1/8 + 6×1/2 = 4 atoms and BCC has 8×1/8 + 1×1 = 2 atoms per unit cell.
3. FCC と BCC では、球が接している方向（金色の線）はそれぞれどこでしたか。そのときの式は何でしたか。In FCC and in BCC, along which direction (gold line) do the spheres touch? What were the equations?→ FCC は面対角線で √2·a = 4r（a = 2√2·r）、BCC は体対角線で √3·a = 4r（a = 4r/√3）。r = 1.25 のとき FCC は a ≈ 3.536、BCC は a ≈ 2.887 だった。FCC: along the face diagonal, √2·a = 4r (a = 2√2·r). BCC: along the body diagonal, √3·a = 4r (a = 4r/√3). At r = 1.25, a ≈ 3.536 for FCC and a ≈ 2.887 for BCC.
4. 4層積んだとき、2つの積み方で「積層順」と上から見た様子はどう違いましたか。With 4 layers, how did the "Stacking order" and the top view differ between the two stackings?→ C位置では積層順が ABCA になり、上から見ると赤のすき間から青と緑の球が見え、A・B・C の3種類の位置がすべて埋まっていた。A位置では ABAB になり、上から見ると赤と青だけが重なり、緑（C位置）の球はなかった。With C sites the order was ABCA, and from above, blue and green spheres showed through the gaps in the red layer, so all three positions A, B, and C were filled. With A sites the order was ABAB, and from above only red and blue overlapped, with no green (C-site) spheres.

4考えようThink further

1. ABC 積層と ABAB 積層は積み方が違うのに、充填率が同じ ≈0.74 になるのはなぜでしょうか。Why do ABC stacking and ABAB stacking have the same packing fraction (≈0.74) even though they are stacked differently?→ どちらも同じ最密平面を、層間隔 h = 2r√(2/3) で下の層のくぼみに置いて積んでいる。各層の球の密度も層の間隔も同じで、違うのは3層目を置く横の位置だけなので、空間に占める球の割合は等しくなる。Both stack the same close-packed layer into the hollows of the layer below, with the same layer spacing h = 2r√(2/3). The density of spheres in each layer and the spacing are identical; only the sideways position of the third layer differs, so the fraction of space filled is the same.
2. FCC の単位胞の中で、最密平面はどの方向に積み重なっていますか。Inside the FCC unit cell, in which direction are the close-packed layers stacked?→ 立方体の体対角線〈111〉の方向。最密平面は体対角線に垂直な面で、ABC の3層を積むと立方体の頂点から反対側の頂点へ並ぶ。接触方向（面対角線）と積層方向（体対角線）は別であることに注意する。Along the body diagonal 〈111〉 of the cube. The close-packed layers are perpendicular to the body diagonal, and stacking A, B, C runs from one corner of the cube to the opposite corner. Note that the touching direction (face diagonal) and the stacking direction (body diagonal) are different.

よくある誤解Common misconceptions

• 「FCC では体対角線に沿って原子が接している」という誤解。FCC で接するのは面対角線（√2·a = 4r）で、体対角線は最密平面を積む方向である。体対角線で接するのは BCC。"In FCC, atoms touch along the body diagonal." In FCC, atoms touch along the face diagonal (√2·a = 4r); the body diagonal is the direction in which close-packed layers are stacked. Touching along the body diagonal is BCC.
• 「球を大きくすればいくらでも詰め込める」という誤解。接触した時点が上限で、それ以上は球が重なって非物理的になる。同じ大きさの球の最密充填は約 74% が上限である。"Making the spheres bigger lets you pack in as much as you like." The limit is reached when the spheres touch; beyond that they overlap, which is not physical. For equal spheres the closest packing fills at most about 74% of space.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)