金属結晶格子 BCC / FCCMetal Crystal Lattices: BCC / FCC

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 体心立方格子（BCC）で、となり合う頂点の原子どうしは接していると思いますか。接していないなら、どの原子どうしが接していると思いますか。In a body-centered cubic (BCC) lattice, do you think neighboring corner atoms touch each other? If not, which atoms do you think touch?💡 立方体の中心にも原子があります。中心の原子から一番近い原子はどこにあるでしょうか。There is also an atom at the center of the cube. Where are the atoms closest to that center atom?
2. BCC と FCC で、格子定数 a が同じなら、原子半径 r が大きいのはどちらだと思いますか。また、すき間が少ない（充填率が大きい）のはどちらだと思いますか。If BCC and FCC have the same lattice constant a, which do you think has the larger atomic radius r? Which do you think has less empty space (a higher packing fraction)?💡 原子が接している対角線の長さ（体対角線と面対角線）を比べ、単位格子に含まれる原子の数も考えてみましょう。Compare the lengths of the diagonals along which atoms touch (body diagonal vs. face diagonal), and also think about how many atoms each unit cell contains.

2動かしてみようTry it

1. 「体心立方 BCC」が選ばれた状態（格子定数 a = 0.350 nm）で、「一時停止（自動回転中）」を押して回転を止め、「視点回転 θ」スライダーを動かして、頂点8個（青）と体心1個（赤）の配置と橙線（体対角線）を確認する。With "Body-centered BCC" selected (Lattice constant a = 0.350 nm), press "Pause (auto-rotating)" to stop the rotation, then move the "View angle θ" slider to see the 8 corner atoms (blue), the 1 body-center atom (red), and the orange line (body diagonal).
2. 右のパネルで「単位格子あたりの原子数」「接触条件（体対角線）」「隣接頂点どうし」「充填率」の数値を記録する。In the panel, record the values shown for "Atoms per unit cell", "Contact condition (body diagonal)", "Neighboring corner atoms", and "Packing fraction".
3. 「格子定数 a」スライダーを 0.30 nm から 0.45 nm まで動かし、r の値と「最近接距離 d」「2r」がどう変わるか、「ちょうど接触」の表示が保たれるかを観察する。Move the "Lattice constant a" slider from 0.30 nm to 0.45 nm and watch how r, the "Nearest-neighbor distance d", and "2r" change, and whether "just touching" stays displayed.
4. a = 0.350 nm に戻して「面心立方 FCC」を押し、面心原子（緑）が各面の中心へ移動して収まる様子を見る。θ を動かして6つの面すべてに原子があることを確かめ、同じ4項目の数値を記録する。Set a back to 0.350 nm and press "Face-centered FCC". Watch the face-center atoms (green) move into the center of each face. Move θ to confirm that all six faces have an atom, and record the same four values.
5. 「再配置アニメ」を押し、原子が格子点へ集まって「格子点に配置完了：ちょうど接触」と表示されるまでを観察する。Press "Rebuild animation" and watch the atoms gather at the lattice points until "Atoms at lattice points: just touching" appears.

3確かめようCheck

1. 単位格子あたりの原子数は BCC と FCC でそれぞれ何個で、どのように数えていましたか。How many atoms per unit cell did BCC and FCC have, and how were they counted?→ BCC は 8×1/8 + 1 = 2 個、FCC は 8×1/8 + 6×1/2 = 4 個。頂点原子は隣接する8個の単位格子で共有されるので1/8ずつ、面心原子は2個の格子で共有されるので1/2ずつ数える。体心原子は1個まるごと。BCC: 8×1/8 + 1 = 2 atoms; FCC: 8×1/8 + 6×1/2 = 4 atoms. A corner atom is shared by 8 neighboring unit cells, so it counts as 1/8; a face-center atom is shared by 2 cells, so it counts as 1/2. The body-center atom counts as a whole 1.
2. a = 0.350 nm のとき、BCC と FCC の原子半径 r はそれぞれいくつでしたか。となり合う頂点原子どうしは接していましたか。At a = 0.350 nm, what was the atomic radius r for BCC and for FCC? Did neighboring corner atoms touch?→ BCC は r = a√3/4 ≈ 0.1516 nm、FCC は r = a√2/4 ≈ 0.1237 nm。どちらも a − 2r > 0（BCC 約 0.047 nm、FCC 約 0.103 nm）で、頂点原子どうしは「接触しない」。BCC では体対角線上、FCC では面対角線上の原子どうしが接している。BCC: r = a√3/4 ≈ 0.1516 nm; FCC: r = a√2/4 ≈ 0.1237 nm. In both, a − 2r > 0 (about 0.047 nm for BCC, about 0.103 nm for FCC), so corner atoms are "not touching". Atoms touch along the body diagonal in BCC and along the face diagonal in FCC.
3. 格子定数 a を 0.30 nm から 0.45 nm まで変えると、r と充填率はどうなりましたか。When you changed the lattice constant a from 0.30 nm to 0.45 nm, what happened to r and to the packing fraction?→ r は a に比例して大きくなり（BCC なら a = 0.30 nm で約 0.130 nm、0.45 nm で約 0.195 nm）、最近接距離 d と 2r は常に等しく「ちょうど接触」が保たれた。充填率は a を変えても BCC 0.680、FCC 0.740 のまま変わらなかった。r grew in proportion to a (for BCC, about 0.130 nm at a = 0.30 nm and about 0.195 nm at 0.45 nm), and the nearest-neighbor distance d always equaled 2r, so "just touching" was kept. The packing fraction stayed at 0.680 for BCC and 0.740 for FCC no matter what a was.
4. 視点を回転させたとき、FCC の緑の原子はどこにありましたか。When you rotated the view, where were the green atoms in FCC?→ 立方体の6つの面それぞれの中心に1個ずつあった。手前の原子は濃く、奥の原子は淡く半透明に描かれるので、前後の面の原子を区別できる。One at the center of each of the cube's six faces. Front atoms are drawn darker and back atoms paler and see-through, so atoms on the front and back faces can be told apart.

4考えようThink further

1. 充填率が格子定数 a によらず一定になるのはなぜでしょうか。Why does the packing fraction not depend on the lattice constant a?→ 接触条件から r は a に比例する（BCC: r = √3a/4、FCC: r = √2a/4）。充填率 = n×(4/3)πr³ / a³ に代入すると a³ が約分され、BCC は √3π/8 ≈ 0.68、FCC は √2π/6 ≈ 0.74 という数だけが残るから。From the contact condition, r is proportional to a (BCC: r = √3a/4; FCC: r = √2a/4). Substituting into packing fraction = n×(4/3)πr³ / a³, the a³ cancels, leaving only numbers: √3π/8 ≈ 0.68 for BCC and √2π/6 ≈ 0.74 for FCC.
2. 原子半径 r が同じ金属原子で比べると、BCC と FCC ではどちらの単位格子の一辺が長くなりますか。For metal atoms of the same radius r, which has the longer unit-cell edge, BCC or FCC?→ a = 4r/√3 ≈ 2.31r（BCC）、a = 4r/√2 ≈ 2.83r（FCC）なので FCC の方が長い。ただし FCC は単位格子に4個、BCC は2個の原子を含むため、原子1個あたりの体積は FCC の方が小さく、より密に詰まっている。BCC: a = 4r/√3 ≈ 2.31r; FCC: a = 4r/√2 ≈ 2.83r, so FCC is longer. But FCC holds 4 atoms per cell and BCC only 2, so the volume per atom is smaller in FCC and it is packed more densely.

よくある誤解Common misconceptions

• 「立方体の頂点の原子どうしが接している」という誤解。BCC・FCC では頂点原子どうしは接しておらず（a − 2r > 0）、接するのは体対角線（BCC）または面対角線（FCC）に沿った原子どうしである。"The atoms at the cube corners touch each other." In BCC and FCC, corner atoms do not touch (a − 2r > 0); atoms touch along the body diagonal (BCC) or the face diagonal (FCC).
• 「図に描かれている球の数（BCC 9個、FCC 14個）が単位格子の原子数である」という誤解。頂点は1/8、面心は1/2だけその格子に属するので、BCC は2個、FCC は4個になる。"The number of spheres drawn (9 for BCC, 14 for FCC) is the number of atoms in the unit cell." Only 1/8 of each corner atom and 1/2 of each face-center atom belong to the cell, so BCC has 2 and FCC has 4.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)