モデルの前提

・分子は2次元の箱の中を運動します。速度成分 v_x, v_y は平均0・分散 RT/M の正規分布（マクスウェル分布）から抽出し、平均の速さは √T に比例します。質量 M_A=30 g/mol, M_B=40 g/mol, M_C=70 g/mol。

・A と B が衝突したとき、相対速度による運動エネルギー E = ½μv_相対²（μ = M_AM_B/(M_A+M_B) 換算質量）が Ea 以上なら A+B→C（フラッシュ表示）。Ea 未満は弾性衝突です。C は2.5〜4秒後に A+B へ戻ります（熱浴の温度で速度を再抽出）。各分子は毎秒2.5回の割合で熱浴（溶媒・壁）と衝突して速度が温度 T のマクスウェル分布から取り直され、さらに平均運動エネルギーを RT に保つ弱い補正をかけています。それでも反応が非常に速い条件では高エネルギー分子が消費され、実測は衝突理論の値より1〜2割小さくなることがあります（実際の化学でも起こる非平衡効果）。

・左下のグラフは分子Aの3次元マクスウェル速さ分布 f(v)=4π(M/2πRT)^3/2 v² e^−Mv²/2RT。½Mv²≥Ea の割合は erfc(√x)+2√(x/π)e^−x（x=Ea/RT）。

・2次元で衝突頻度（相対速さに比例）で重み付けした相対エネルギー分布も同じ v² 型になるため、塗り面積の割合は「反応に至る衝突の割合」の期待値に等しくなります（右下「衝突理論」）。

・アレニウス予測 k = A·e^−Ea/RT の前指数因子 A には実測の A–B 衝突頻度 Z（回/秒）を用いています。全相対エネルギーで判定しているため、実測値は A·e^−Ea/RT よりおよそ (1+2√(x/π)) 倍大きくなりますが、温度に対する指数的な増え方は同じです。

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Model assumptions

• Molecules move in a 2D box. The velocity components v_x, v_y are drawn from a normal distribution with mean 0 and variance RT/M (the Maxwell distribution), so the average speed is proportional to √T. Molar masses: M_A=30 g/mol, M_B=40 g/mol, M_C=70 g/mol.

• When A and B collide, if the kinetic energy of their relative motion E = ½μv_rel² (μ = M_AM_B/(M_A+M_B), the reduced mass) is Ea or more, they react: A+B→C (shown as a flash). Below Ea the collision is elastic. After 2.5–4 s, C splits back into A+B (with speeds re-drawn at the heat-bath temperature). Each molecule hits the heat bath (solvent and walls) 2.5 times per second on average, and its velocity is re-drawn from the Maxwell distribution at temperature T. A weak correction also keeps the average kinetic energy at RT. Even so, when reactions are very fast, high-energy molecules get used up, and the measured rate can be 10–20 % lower than collision theory predicts (a non-equilibrium effect that also happens in real chemistry).

• The lower-left graph is the 3D Maxwell speed distribution of molecule A: f(v)=4π(M/2πRT)^3/2 v² e^−Mv²/2RT. The fraction with ½Mv² ≥ Ea is erfc(√x)+2√(x/π)e^−x (x=Ea/RT).

• In 2D, the relative-energy distribution weighted by collision frequency (proportional to relative speed) has the same v² form. So the shaded fraction of the area equals the expected fraction of collisions that lead to a reaction ("Collision theory", lower right).

• In the Arrhenius prediction k = A·e^−Ea/RT, the pre-exponential factor A is the measured A–B collision frequency Z (per second). Because the model checks the total relative energy, the measured rate is about (1+2√(x/π)) times larger than A·e^−Ea/RT, but it grows exponentially with temperature in the same way.

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