RLC直列回路 フェーザ図RLC Series Circuit Phasor Diagram

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 電源電圧の振幅は10 Vです。直列につないだコイルやコンデンサの両端の電圧が、10 Vより大きくなることはあると思いますか。The source voltage amplitude is 10 V. Do you think the voltage across the coil or the capacitor in the series circuit could ever be larger than 10 V?💡 交流では、各素子の電圧は「大きさ」だけでなく「向き（位相）」をもつ矢印として足し合わせます。逆向きの矢印どうしを足すとどうなるでしょうか。In AC, each element's voltage is added as an arrow with both size and direction (phase), not just a size. What happens when you add arrows pointing in opposite directions?
2. 周波数が低いとき、電流は電源電圧より先に山をむかえる（進む）と思いますか、それとも遅れると思いますか。When the frequency is low, do you think the current reaches its peak before the source voltage (leads) or after it (lags)?💡 周波数が低いとき、X_L=2πfL と X_C=1/(2πfC) のどちらが大きくなるかを考えましょう。Think about which is larger at low frequency: X_L = 2πfL or X_C = 1/(2πfC).

2動かしてみようTry it

1. 最初の設定（周波数 f 954.9 Hz（0.600 f0）、抵抗 R 20.0 Ω、静電容量 C 1.00 µF）で、右のフェーザ図の I・VR・VL・VC・V の矢印の向きと、上部の判定表示、XL・XC・|Z|・I・力率 cosθ の数値を読む。With the starting settings (Frequency f 954.9 Hz (0.600 f0), Resistance R 20.0 Ω, Capacitance C 1.00 µF), look at the directions of the I, VR, VL, VC and V arrows in the phasor diagram, and read the status line and the values of XL, XC, |Z|, I and Power factor cosθ.
2. 「共振周波数へジャンプ」ボタンを押し、VL と VC の矢印、V と I の向き、|VL|・|VC|・|VR+VL+VC| の値を確認する。下の v(t)・i(t) の波形もあわせて見る。Press the "Jump to resonance" button and check the VL and VC arrows, the directions of V and I, and the values |VL|, |VC| and |VR+VL+VC|. Also look at the v(t) and i(t) waves below.
3. 「周波数 f」スライダーを約 2.39 kHz（1.50 f0）まで動かし、0.6 f0 のときと比べて V の矢印が I の前後どちら側にあるか、判定表示がどう変わるかを観察する。スライダーをゆっくり動かして位相が連続的に変わることも確かめる。Move the "Frequency f" slider to about 2.39 kHz (1.50 f0) and compare with 0.6 f0: which side of I the V arrow is on, and how the status line changes. Move the slider slowly to see that the phase changes continuously.
4. もう一度「共振周波数へジャンプ」を押してから「抵抗 R」を 20 Ω から 5 Ω に下げ、Q と |VL|・|VC| の値、フェーザ図の矢印の長さの変化を観察する。Press "Jump to resonance" again, then lower "Resistance R" from 20 Ω to 5 Ω, and observe how Q, |VL| and |VC|, and the arrow lengths in the phasor diagram change.
5. 「一時停止」でフェーザの回転を止め、矢印どうしの角度を確かめてから「再生」で再開する。Press "Pause" to stop the phasors turning, check the angles between the arrows, then press "Play" to resume.

3確かめようCheck

1. f=0.600 f₀（約955 Hz）のとき、XL と XC はどちらが大きく、電流は電源電圧に対して進んでいましたか、遅れていましたか。At f = 0.600 f₀ (about 955 Hz), which was larger, XL or XC, and did the current lead or lag the source voltage?→ XL=60.00 Ω、XC=166.67 Ω で XC のほうが大きく、「容量性」で電流が電源電圧より約79.4°進んでいました。V の矢印は I より90°近く遅れた向き（時計回り側）にあり、cosθ≈0.18 でした。XL = 60.00 Ω and XC = 166.67 Ω, so XC was larger; the circuit was "Capacitive" and the current led the source voltage by about 79.4°. The V arrow was nearly 90° behind I (on the clockwise side), and cosθ ≈ 0.18.
2. 共振周波数（約1.592 kHz）にしたとき、XL と XC、|Z|、I、V と I の位相はどうなりましたか。At the resonant frequency (about 1.592 kHz), what were XL and XC, |Z|, I, and the phase between V and I?→ XL=XC=100.00 Ω となって VL と VC の矢印が同じ長さで逆向きになり打ち消し合いました。|Z|=20.00 Ω（=R）、I=500.00 mA で最大、位相 θ=0°・cosθ=1.0000 で、V は VR・I と同じ向き（同相）でした。XL = XC = 100.00 Ω, so the VL and VC arrows were equal in length and opposite, cancelling each other. |Z| = 20.00 Ω (equal to R), I = 500.00 mA (the maximum), phase θ = 0° and cosθ = 1.0000, with V pointing the same way as VR and I (in phase).
3. f=1.50 f₀（約2.39 kHz）のとき、電流は進んでいましたか、遅れていましたか。At f = 1.50 f₀ (about 2.39 kHz), did the current lead or lag?→ XL≈150 Ω が XC≈67 Ω より大きく、「誘導性」で電流が電源電圧より約76.5°遅れていました。V の矢印は I より反時計回り側（進んだ側）にあります。0.6 f₀ から 1.5 f₀ まで動かすと、位相は −79° から 0° を通って +77° まで連続的に変わりました。XL ≈ 150 Ω was larger than XC ≈ 67 Ω, so the circuit was "Inductive" and the current lagged the source voltage by about 76.5°. The V arrow was on the counterclockwise (leading) side of I. Sweeping from 0.6 f₀ to 1.5 f₀, the phase changed continuously from −79° through 0° to +77°.
4. 共振のまま R を 20 Ω から 5 Ω にすると、|VL| と |VC| はいくつになりましたか。電源電圧との関係は？Staying at resonance, when R was lowered from 20 Ω to 5 Ω, what were |VL| and |VC|? How do they compare with the source voltage?→ Q が 5.00 から 20.00 になり、|VL|=|VC| は 50 V から 200 V（V₀ の20倍）になりました。それでも互いに逆向きで打ち消し合うので、|VR+VL+VC| はつねに 10.000 V（=V₀）のままでした。Q went from 5.00 to 20.00, and |VL| = |VC| rose from 50 V to 200 V (20 times V₀). Because they point in opposite directions and cancel, |VR+VL+VC| stayed at 10.000 V (= V₀).

4考えようThink further

1. 共振時に、コイルの電圧が200 Vもあるのに電源電圧が10 Vで済むのはなぜですか。エネルギーの面からも説明してみましょう。At resonance, why can the source voltage be only 10 V when the coil voltage is as large as 200 V? Try to explain it in terms of energy as well.→ VL と VC はいつも逆向き（位相が180°ずれている）なので、各瞬間で足すと打ち消し合い、電源は抵抗の電圧 VR=V₀ だけを受け持てばよいからです。エネルギーはコイルの磁気エネルギーとコンデンサの電気エネルギーの間で行き来していて、電源は抵抗で熱になる分だけを補っています。VL and VC are always opposite (180° out of phase), so at every instant they cancel when added, and the source only has to supply the resistor's voltage VR = V₀. Energy moves back and forth between the coil's magnetic energy and the capacitor's electric energy, and the source only replaces what the resistor turns into heat.
2. C を 1.00 µF から 0.25 µF に変えると、同じ周波数（1.592 kHz）でも回路の性質はどう変わりますか。理由も考えましょう。If C is changed from 1.00 µF to 0.25 µF, how does the circuit's behaviour change at the same frequency (1.592 kHz)? Think about why.→ f₀=1/(2π√(LC)) は2倍の約3.18 kHz になるので、1.592 kHz は 0.5 f₀ となり、XC=400 Ω が XL=100 Ω より大きい容量性（電流が約89°進む）になります。共振条件は f そのものではなく、XL と XC の大小関係で決まります。f₀ = 1/(2π√(LC)) doubles to about 3.18 kHz, so 1.592 kHz becomes 0.5 f₀; XC = 400 Ω is now larger than XL = 100 Ω, and the circuit is capacitive (current leads by about 89°). Resonance is decided by how XL compares with XC, not by f alone.

よくある誤解Common misconceptions

• 「直列回路では各素子の電圧の大きさを足すと電源電圧になる」→ 交流では位相の異なる電圧をベクトル（フェーザ）として足すので、|VR|+|VL|+|VC| は電源電圧と一致せず、各素子の電圧が電源電圧を超えることもある。"In a series circuit the sizes of the element voltages add up to the source voltage." → In AC, voltages with different phases add as vectors (phasors), so |VR| + |VL| + |VC| does not equal the source voltage, and an element's voltage can even exceed it.
• 「電流と電圧はいつも同時に最大になる」→ 一般には位相差があり、同相になるのは共振（f=f₀）のときだけである。"Current and voltage always peak at the same time." → In general there is a phase difference; they are in phase only at resonance (f = f₀).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)