RLC回路の自由振動：エネルギー受け渡しFree Oscillation in an RLC Circuit: Energy Exchange

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 充電したコンデンサをスイッチでコイルにつなぐと、コンデンサの電圧はそのまま0まで減って終わると思いますか、それとも別のふるまいをすると思いますか。When a charged capacitor is switched onto a coil, do you think the capacitor voltage will simply fall to 0 and stop, or will it do something else?💡 コイルには電流の変化を妨げるはたらき（自己誘導）があります。コンデンサの電圧が0になった瞬間、電流は流れているでしょうか。A coil opposes changes in current (self-induction). At the instant the capacitor voltage reaches 0, is a current still flowing?
2. 抵抗 R をどんどん大きくしていくと、電圧の変化のしかたはどう変わると思いますか。As the resistance R is made larger and larger, how do you think the way the voltage changes will be different?💡 抵抗はエネルギーを熱として奪います。1回の往復のあいだに奪われるエネルギーが多くなると、どうなるでしょうか。A resistor takes energy away as heat. What might happen if a lot of energy is taken away during each swing?

2動かしてみようTry it

1. 最初の設定（R 20.0 Ω、L 100 mH、C 10 μF）で「再スタート」を押し、回路図のスイッチ S が A→B に切り替わった後の v_C(t)（青）と i(t)（橙）の波形、破線の「包絡線 ±V₀e^(−Rt/2L)」、上部の ω₀・ω_d・T_d の表示を観察する。必要に応じて「一時停止」「再生」を使う。With the starting settings (R 20.0 Ω, L 100 mH, C 10 μF), press "Restart" and, after switch S moves from A to B, watch the v_C(t) (blue) and i(t) (orange) waves, the dashed "Envelope ±V₀e^(−Rt/2L)", and the ω₀, ω_d and T_d readouts. Use "Pause" and "Play" as needed.
2. 右上の「エネルギー」バー（½CV²・½LI²・合計・熱）と、下の「エネルギーの時間変化」グラフで、½CV² と ½LI² が交互に大きくなる様子と、合計の変化を観察する。In the "Energy" bars (½CV², ½LI², Total, Heat) and the "Energy over time" graph below, watch ½CV² and ½LI² take turns being large and see how the total changes.
3. R を 20 Ω から 100 Ω に上げ、ω_d・T_d の値と包絡線の減り方の変化を記録する。Raise R from 20 Ω to 100 Ω and record how ω_d, T_d and the decay of the envelope change.
4. 「R=Rc にする」ボタンを押して臨界減衰（R=200 Ω）にし、次に R スライダーを約 600 Ω（過減衰）にして、波形が振動しなくなる様子と、0に戻るまでの速さを比べる。Press "Set R = Rc" for critical damping (R = 200 Ω), then move the R slider to about 600 Ω (overdamped), and compare how the waves stop oscillating and how quickly they return to 0.
5. R を 20 Ω に戻してから L を 100 mH から 400 mH（4倍）にし、ω₀・T_d と包絡線の減り方の変化を観察する。Set R back to 20 Ω, then change L from 100 mH to 400 mH (four times), and observe how ω₀, T_d and the envelope's decay change.

3確かめようCheck

1. 最初の設定（R=20 Ω、L=100 mH、C=10 μF）での ω₀、ω_d、振動の周期 T_d、臨界抵抗 Rc はいくつでしたか。With the starting settings (R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 10 μF), what were ω₀, ω_d, the oscillation period T_d and the critical resistance Rc?→ ω₀=1000 rad/s、ω_d≈995 rad/s、T_d≈6.31 ms、Rc=200 Ω でした。波形の山と山の間隔（グラフの T_d の目盛）も約6.3 ms です。ω₀ = 1000 rad/s, ω_d ≈ 995 rad/s, T_d ≈ 6.31 ms and Rc = 200 Ω. The spacing between peaks on the graph (the T_d bar) is also about 6.3 ms.
2. ½CV² と ½LI² はどのように変化していましたか。合計エネルギーはどうでしたか。How did ½CV² and ½LI² change? What about the total energy?→ 一方がほぼ0のときにもう一方が最大になり、交互に受け渡されていました（電流が0のとき電圧が極大）。合計は一度も増えずに単調に減り、減った分は「熱」のバーに移って、最後は熱がほぼ100%になりました（「単調減少✓」と表示）。When one was nearly zero the other was at its maximum, so energy was handed back and forth (the voltage peaks when the current is zero). The total never increased and kept decreasing, with the lost energy moving into the "Heat" bar until heat was nearly 100% (the display shows "decreasing ✓").
3. R を 20 Ω から 100 Ω にすると、周期と減衰の速さはどう変わりましたか。When R was raised from 20 Ω to 100 Ω, how did the period and the rate of decay change?→ ω_d が約995 から 866 rad/s に下がり、T_d は約6.31 ms から 7.26 ms に伸びました。α=R/(2L) が 100/s から 500/s になったので、包絡線 e^(−Rt/2L) も速く小さくなりました。ω_d fell from about 995 to 866 rad/s and T_d grew from about 6.31 ms to 7.26 ms. α = R/(2L) went from 100/s to 500/s, so the envelope e^(−Rt/2L) shrank faster.
4. R=Rc（200 Ω）と R≈600 Ω では、波形はどうなりましたか。どちらが早く0に落ち着きましたか。What did the waves look like at R = Rc (200 Ω) and at R ≈ 600 Ω? Which settled to 0 sooner?→ どちらも v_C が符号を変えずに0へ近づく非振動の曲線になり、表示は「臨界減衰」「過減衰」に変わりました。臨界減衰のほうが速く0に落ち着き、過減衰（R/Rc=3）ではゆっくり減っていきました（約15 ms でも v_C≈0.8 V が残る）。In both cases v_C approached 0 without changing sign, a non-oscillating curve, and the label changed to "Critically damped" and "Overdamped". Critical damping settled fastest; with overdamping (R/Rc = 3) the voltage fell slowly (about 0.8 V still remained at around 15 ms).

4考えようThink further

1. この回路の振動は、ばねにつるしたおもりの振動とどのように対応しますか。L、C、R はそれぞれ何に当たりますか。How does this circuit's oscillation correspond to a mass oscillating on a spring? What do L, C and R each correspond to?→ 電荷が変位、電流が速度に当たり、L は質量（慣性：電流の変化を妨げる）、1/C はばね定数（ためた電荷を押し戻す）、R は摩擦・空気抵抗（エネルギーを熱にする）に対応します。½CV²（=q²/2C）は弾性エネルギー、½LI² は運動エネルギーに当たり、エネルギーの受け渡しも同じ形です。Charge corresponds to displacement and current to velocity; L is like mass (inertia, opposing changes in current), 1/C is like the spring constant (pushing stored charge back), and R is like friction or air resistance (turning energy into heat). ½CV² (= q²/2C) matches elastic potential energy and ½LI² matches kinetic energy, so the energy exchange has the same form.
2. コンデンサの電圧が0になった瞬間でも、なぜ電流は止まらずにコンデンサを逆向きに充電するのですか。Why does the current keep flowing and charge the capacitor the other way, even at the instant the capacitor voltage is 0?→ その瞬間、エネルギーはコイルの磁気エネルギー ½LI² として蓄えられていて、電流は最大です。コイルは電流の変化を妨げる起電力を生じるので、電流はすぐには0にならず流れ続け、コンデンサを逆の極性に充電します。At that instant the energy is stored as magnetic energy ½LI² in the coil, and the current is at its maximum. The coil produces an EMF that opposes changes in current, so the current cannot drop to zero at once; it keeps flowing and charges the capacitor with the opposite polarity.

よくある誤解Common misconceptions

• 「抵抗を大きくすると、振動の回数が減るだけで、いつまでも振動はする」→ R が Rc=2√(L/C) 以上になると振動そのものがなくなり、非振動的に0へ近づく。"A larger resistance just means fewer oscillations; it always oscillates somewhat." → Once R reaches Rc = 2√(L/C) or more, the oscillation disappears entirely and the voltage approaches 0 without oscillating.
• 「抵抗が大きいほど早く落ち着く」→ 最も速く0に落ち着くのは臨界減衰（R=Rc）で、それ以上 R を大きくする（過減衰）とかえってゆっくりになる。"The bigger the resistance, the faster it settles." → The fastest settling happens at critical damping (R = Rc); making R even larger (overdamping) makes it slower again.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)