← 作品一覧← All works
授業ガイド・ワークシートLESSON GUIDE · WORKSHEET

RLC直列回路の共振Resonance in an RLC Series Circuit

物理 · 物理単元: RLC回路と共振Resonance in an RLC Series Circuit 目安 25分about 25 min
ねらいGoal：RLC直列回路では、周波数が共振周波数 f₀=1/(2π√(LC)) のとき誘導リアクタンスと容量リアクタンスが打ち消し合ってインピーダンスが最小（=R）となり、電流が最大で電圧と同相になること、f₀ より低いと電流が進み（容量性）、高いと遅れる（誘導性）こと、そして R が小さいほど Q が大きく共振曲線が鋭くなることを理解する。Students understand that in an RLC series circuit, at the resonant frequency f₀ = 1/(2π√(LC)) the inductive and capacitive reactances cancel, so the impedance is smallest (equal to R) and the current is largest and in phase with the voltage; below f₀ the current leads (capacitive) and above f₀ it lags (inductive); and a smaller R gives a larger Q and a sharper resonance curve.
▶ シミュレーションを開く▶ Open the simulation

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

  1. 交流電源の電圧の大きさは一定のまま周波数だけを低い値から高い値へ上げていくと、回路を流れる電流の振幅はどう変わると思いますか。グラフの形を予想してスケッチしてみましょう。If the AC source voltage stays the same size but its frequency is raised from low to high, how do you think the current amplitude will change? Sketch the shape of the graph you expect.💡 コイルのリアクタンス X_L=ωL とコンデンサのリアクタンス X_C=1/(ωC) が、周波数を上げるとそれぞれどうなるかを考えましょう。Think about what happens to the coil's reactance X_L = ωL and the capacitor's reactance X_C = 1/(ωC) as the frequency rises.
  2. 抵抗 R を小さくすると、電流のピークの高さと幅はそれぞれどうなると思いますか。If the resistance R is made smaller, what do you think happens to the height and the width of the current peak?💡 共振のときに電流を制限しているのは、R・L・C のうちどれでしょうか。At resonance, which of R, L and C is limiting the current?

2動かしてみようTry it

  1. 最初の設定（L コイル 20 mH、C 容量 10 µF、R 抵抗 10 Ω、f 周波数 316.2 Hz）で、表示の「共振周波数 f₀」「Q」「電流振幅 I₀」「位相差 φ」を読み、「位相図・波形」で v（橙）と i（黄）のどちらが先に山になるかを観察する。With the starting settings (L coil 20 mH, C capacitor 10 µF, R resistor 10 Ω, f frequency 316.2 Hz), read "Resonant frequency f₀", "Q", "Current amplitude I₀" and "Phase difference φ", and in the "Phasor & waves" panel see whether v (orange) or i (yellow) reaches its peak first.
  2. 「f を f₀ に合わせる」ボタンを押し、電流振幅・|Z|・位相差と、I–f 曲線上の現在の周波数の点の位置を確認する。Press the "Set f to f₀" button and check the current amplitude, |Z|, the phase difference, and where the current-frequency point sits on the I–f curve.
  3. 「f 周波数」スライダーを動かして f を約 79 Hz（f₀ より低い）と約 1.26 kHz（f₀ より高い）にし、位相差 φ の符号と「i が進む・容量性」「i が遅れる・誘導性」の表示が入れかわることを確かめる。Move the "f frequency" slider to about 79 Hz (below f₀) and about 1.26 kHz (above f₀), and confirm that the sign of φ and the labels "i leads: capacitive" and "i lags: inductive" switch.
  4. 「L コイル」を 20 mH から 80 mH（4倍）にして、f₀ の値とグラフのピーク位置の変化を観察する。その後 20 mH に戻す。Change "L coil" from 20 mH to 80 mH (four times) and watch how f₀ and the position of the peak on the graph change. Then set it back to 20 mH.
  5. 「f を f₀ に合わせる」を押したあと、「R 抵抗」を 40 Ω と 2 Ω にして、Q の値、I–f 曲線のピークの高さと幅（Δf=f₀/Q）の変化を比べる。After pressing "Set f to f₀", set "R resistor" to 40 Ω and then 2 Ω, and compare the value of Q and the height and width (Δf = f₀/Q) of the I–f curve's peak.

3確かめようCheck

  1. f を f₀（約356 Hz）に合わせたとき、|Z|、電流振幅、位相差はいくつでしたか。When f was set to f₀ (about 356 Hz), what were |Z|, the current amplitude and the phase difference?→ |Z|=10.0 Ω（=R）、I₀=1.00 A（=V₀/R=10 V/10 Ω）、φ=0°で「共振：同相」と表示され、電流はグラフの最大点にありました。|Z| = 10.0 Ω (equal to R), I₀ = 1.00 A (= V₀/R = 10 V / 10 Ω), and φ = 0° with the label "resonance: in phase"; the current was at the top of the graph.
  2. f が f₀ より低いときと高いときで、位相差 φ と電流の進み・遅れはどうなりましたか。How did the phase difference φ and the lead or lag of the current differ when f was below f₀ and when it was above f₀?→ 約79 Hz では φ≈−87° で電流が進み（容量性、X_C>X_L）、約1.26 kHz では φ≈+86° で電流が遅れました（誘導性、X_L>X_C）。どちらも電流は約50〜70 mA と小さくなりました。At about 79 Hz, φ ≈ −87° and the current leads (capacitive, X_C > X_L); at about 1.26 kHz, φ ≈ +86° and the current lags (inductive, X_L > X_C). In both cases the current was small, about 50–70 mA.
  3. L を 20 mH から 80 mH にすると、f₀ はどう変わりましたか。When L was changed from 20 mH to 80 mH, how did f₀ change?→ f₀ は約356 Hz から約178 Hz へ半分になり、ピークが左へ移りました。f₀=1/(2π√(LC)) なので L を4倍にすると f₀ は 1/√4=1/2 倍です（C を大きくしても同様に下がります）。f₀ halved from about 356 Hz to about 178 Hz and the peak moved left. Since f₀ = 1/(2π√(LC)), making L four times larger multiplies f₀ by 1/√4 = 1/2 (making C larger lowers it in the same way).
  4. 共振時に R を 40 Ω と 2 Ω にしたとき、Q とピークの形はどう違いましたか。At resonance, how did Q and the shape of the peak differ between R = 40 Ω and R = 2 Ω?→ R=40 Ω では Q≈1.12、ピーク電流 250 mA でなだらかな山でした。R=2 Ω では Q≈22.4、ピーク電流 5.00 A で、幅 Δf=f₀/Q が狭い鋭い山になりました。f₀ はどちらも約356 Hz で変わりません。With R = 40 Ω, Q ≈ 1.12 and the peak current was 250 mA, a broad hump. With R = 2 Ω, Q ≈ 22.4 and the peak current was 5.00 A, a sharp peak with a narrow width Δf = f₀/Q. f₀ stayed at about 356 Hz in both cases.

4考えようThink further

  1. 共振のとき、なぜ電流と電圧は同相になり、電流は V₀/R で決まるのですか。Why are the current and voltage in phase at resonance, and why is the current then set by V₀/R?→ コイルの電圧は電流より90°進み、コンデンサの電圧は90°遅れるので両者は逆向きです。共振では X_L=X_C なのでその大きさが等しく完全に打ち消し合い、残るのは抵抗の電圧だけになります。抵抗の電圧は電流と同相なので、電源電圧も電流と同相になり、|Z|=R、I₀=V₀/R になります。The coil voltage leads the current by 90° and the capacitor voltage lags it by 90°, so they point in opposite directions. At resonance X_L = X_C, so they are equal in size and cancel completely, leaving only the resistor's voltage. That voltage is in phase with the current, so the source voltage is too, and |Z| = R, giving I₀ = V₀/R.
  2. ラジオで特定の放送局だけを選ぶ（同調）には、Q が大きい回路と小さい回路のどちらが向いていますか。To pick out just one radio station (tuning), is a circuit with a large Q or a small Q better?→ Q が大きい回路です。Q が大きいと共振曲線の幅 Δf=f₀/Q が狭くなり、f₀ 付近の信号だけが大きな電流を流すので、近い周波数の別の局を区別しやすくなります。f₀ は L や C を変えて合わせます。A large-Q circuit. A large Q makes the width Δf = f₀/Q of the resonance curve narrow, so only signals near f₀ drive a large current, making it easier to separate stations on nearby frequencies. f₀ is tuned by changing L or C.

よくある誤解Common misconceptions

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)

共振周波数resonant frequencyインピーダンスimpedance誘導リアクタンスinductive reactance容量リアクタンスcapacitive reactance位相差phase differenceQ値（共振の鋭さ）Q factor (quality factor)

先生へFor teachers

電源は振幅 V₀=10 V 固定で、アニメーションは1周期=2.5秒のスロー表示ですが、振幅と位相は実際の f の値で計算されています。φ は「電圧の位相−電流の位相」と定義されているので、φ<0 が電流の進み（容量性）である点を事前に確認してください。I–f 曲線の横軸は対数目盛で、グラフをタップ／ドラッグしても f を変えられます。The source amplitude is fixed at V₀ = 10 V, and the animation is slowed so one cycle takes 2.5 s, but amplitudes and phases are computed for the real f. φ is defined as (phase of voltage − phase of current), so point out beforehand that φ < 0 means the current leads (capacitive). The I–f curve has a logarithmic frequency axis, and tapping or dragging on the graph also changes f.