はじき出し実験：等電位線と仕事の経路独立性Launch Experiment: Equipotential Lines and Path Independence of Work

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ出発点から同じ速さで、向きだけを変えて正の試験電荷を5個打ち出す。ある等電位線を横切るときの速さは、向きによって違うだろうか。Five positive test charges are launched from the same point at the same speed but in different directions. Will their speeds when crossing a given equipotential line depend on the direction?💡 電場が電荷にする仕事が何で決まるかを考えよう。Think about what determines the work the electric field does on the charge.
2. 正の試験電荷が等電位線を1本（電位差 ΔV）横切って高電位から低電位へ進むと、運動エネルギーはどれだけ変わるだろうか。When a positive test charge crosses one equipotential line (potential step ΔV) going from high to low potential, how much does its kinetic energy change?💡 位置エネルギー U=qV と運動エネルギーの和が保存されることを使おう。Use the fact that potential energy U = qV plus kinetic energy is conserved.

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（電位間隔 ΔV=0.25、初速度 v₀=1.0、試験電荷 q=+1.0）で、ページを開くと5発が打ち出される。「リセット」してから「向きを変えて5発」を押し、5本の軌跡を観察する。With the defaults (Spacing ΔV = 0.25, Initial speed v₀ = 1.0, Test charge q = +1.0), five shots fire when the page opens. Press "Reset", then "Fire 5 (spread)" and watch the five paths.
2. 「経路独立性の検証」の表で、各等電位線 V を横切ったときの速さ v を5本で比べ、「理論」の列や「最大差」とも比べる。In the "Path independence check" table, compare the speed v at each equipotential V for the five shots, and with the "Theory" column and the largest difference.
3. 粒子のそばの黄色い矢印「F=qE」と、粒子を通る白い点線（等電位線の接線）の関係を見る。HUD の「F と等電位線のなす角」を読む。Look at the yellow "F=qE" arrow next to the particle and the white dashed line (tangent to the equipotential) through it. Read "Angle between F and equipotential" in the readout.
4. 右上の「エネルギー収支」で U=qV、K、U+K のバーを見て、HUD の「直近の横切り」の ΔK と |qΔV| を比べる。電位間隔 ΔV を 0.50 に、試験電荷 q を +2.0 に変えて ΔK がどう変わるか調べる。Watch the U=qV, K, and U+K bars in the "Energy balance" box (top right), and compare ΔK in "Last crossing" with |qΔV|. Change Spacing ΔV to 0.50 and Test charge q to +2.0 and see how ΔK changes.
5. 試験電荷 q を −1.0 にして（「スライダー変更で同じ向きの組を再発射」にチェックを入れたまま）、軌跡と運動エネルギーの変化の向きがどう変わるかを見る。キャンバスを押してドラッグし、自分で発射位置と向きを決めて「発射」も試す。Set Test charge q to −1.0 (with "Refire the same directions when a slider changes" checked) and see how the paths and the direction of the kinetic-energy change differ. Also press and drag on the canvas to choose your own launch point and direction, then press "Fire".

3確かめようCheck

1. 5本の軌跡が V=0 の等電位線を横切るときの速さはいくらか。What speed do the five paths have when crossing the V = 0 equipotential?→ すべて v≈1.661 で、理論値 v=√(v₀²+2q(V₀−V)/m)=1.661 と一致する（出発点 V₀≈+0.879）。全交差点での理論との最大差は 0.0001 程度。All are v ≈ 1.661, matching the theory v = √(v₀² + 2q(V₀ − V)/m) = 1.661 (start V₀ ≈ +0.879). The largest difference from theory over all crossings is about 0.0001.
2. F=qE の矢印と等電位線のなす角は何度か。What angle does the F=qE arrow make with the equipotential line?→ 常に 90.00°（直交）になっている。Always 90.00° (perpendicular).
3. q=+1.0, ΔV=0.25 で等電位線を1本横切るごとに K はどれだけ変わるか。ΔV=0.50 や q=+2.0 にするとどうなるか。With q = +1.0 and ΔV = 0.25, how much does K change per equipotential crossed? What about ΔV = 0.50 or q = +2.0?→ 高電位→低電位へ進むと 1本ごとに ΔK=+0.250（=qΔV）増える。ΔV=0.50 では +0.500、さらに q=+2.0 では +1.000 になる。U+K は初期値（例 +1.379）からほとんどずれない。Going from high to low potential, K increases by ΔK = +0.250 (= qΔV) per line. With ΔV = 0.50 it is +0.500, and with q = +2.0 as well it is +1.000. U + K stays at its initial value (e.g. +1.379) almost exactly.
4. q=−1.0 にすると何が変わるか。What changes when q = −1.0?→ 力の向きが逆になり、電荷は +Q（高電位）に引き寄せられてそのまわりを回るような軌道になる。低電位→高電位へ進むときに K が増え、高電位→低電位では ΔK=−0.250 ずつ減る。The force reverses: the charge is pulled toward +Q (high potential) and loops around it. K now increases when moving from low to high potential, and decreases by 0.250 per line going from high to low.

4考えようThink further

1. 軌跡の長さも形も違うのに、同じ等電位線では同じ速さになるのはなぜか。Why is the speed the same at a given equipotential even though the paths differ in length and shape?→ 静電気力は保存力で、電場がする仕事は W=q(V始−V終) と始点と終点の電位だけで決まる。仕事は運動エネルギーの変化に等しいので、½mv²=½mv₀²+q(V₀−V) となり、v は到達点の電位 V だけで決まる。The electrostatic force is conservative: the work W = q(V_start − V_end) depends only on the potentials at the start and end points. Since work equals the change in kinetic energy, ½mv² = ½mv₀² + q(V₀ − V), so v depends only on the potential V reached.
2. 等電位線に沿って電荷を動かすとき、電場がする仕事はいくらか。シミュレーションのどの表示から説明できるか。How much work does the field do when a charge moves along an equipotential line? Which display in the simulation supports this?→ 0 である。力 F=qE が等電位線と常に 90° をなすので、等電位線に沿った移動では力の向きの成分がなく仕事は0。始点と終点の電位が等しいことからも W=q·0=0。Zero. The force F = qE is always at 90° to the equipotential, so there is no force component along it and no work is done; equivalently, equal start and end potentials give W = q·0 = 0.

よくある誤解Common misconceptions

• 長い経路を通った電荷ほど電場から多くの仕事をされ、速くなる（実際は始点と終点の電位差だけで決まる）。A charge that travels a longer path gets more work from the field and ends up faster (it depends only on the start and end potentials).
• 電荷は必ず高電位から低電位へ動き、そのとき必ず加速する（負電荷では逆で、初速度があれば電位の高い方へも進める）。Charges always move from high to low potential and always speed up doing so (for a negative charge it is the reverse, and with an initial velocity a charge can move either way).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)