二種混合気体の部分圧と等分配則Partial Pressure and Equipartition in a Gas Mixture

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ箱に、質量が4倍ちがう軽い分子と重い分子を24個ずつ入れた。同じ温度で、どちらの分子が速く動くと思いますか。速さは何倍くらいちがうでしょう。A box holds 24 light molecules and 24 heavy molecules whose mass is 4 times larger. At the same temperature, which do you think moves faster, and by about how many times?💡 温度が同じとき、何が等しくなるのかを考えよう。½mv² の式で m が4倍なら v² はどうなるか。Think about what is equal when the temperature is the same. In ½mv², if m is 4 times larger, what must happen to v²?
2. 重い分子が壁に与える圧力（部分圧）と、軽い分子が与える部分圧は、どちらが大きいと思いますか。Which do you think is larger: the pressure (partial pressure) the heavy molecules exert on the walls, or that of the light molecules?💡 重い分子は1回ぶつかるときの勢いは大きいが、速さはどうか。ぶつかる回数も考えよう。A heavy molecule hits with more momentum each time, but how fast does it move? Also think about how often it hits.

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（(A) 温度 T = 300 K、(B) 重い分子の割合 50 %、(C) 質量比 4.0 倍）のまま数秒待ち、表の (a) v_rms、(b) 平均½mv²、½mv² ÷ kT、(c) 部分圧 実測と理論を軽・重それぞれ記録する。「v_rms比（軽/重）」も読む。With the initial settings ((A) Temperature T = 300 K, (B) Heavy fraction 50 %, (C) Mass ratio 4.0 ×), wait a few seconds and record (a) v_rms, (b) mean ½mv², ½mv² ÷ kT, and (c) the measured and theoretical partial pressures for both light and heavy. Also read the "v_rms ratio (light/heavy)".
2. (C) 質量比を 1.0 倍に下げ、数秒待って v_rms と部分圧がどう変わるか（変わらないか）を記録する。その後 4.0 倍にもどす。Lower (C) Mass ratio to 1.0 ×, wait a few seconds, and record how v_rms and the partial pressures change (or do not). Then set it back to 4.0 ×.
3. (B) 重い分子の割合を 25 % にして、分子数の内訳（合計48個）と、下の積み上げ棒グラフの各部分圧・全圧の変化を記録する。Set (B) Heavy fraction to 25 %, and record the breakdown of molecules (48 in total) and how each partial pressure and the total pressure change in the stacked bar chart below.
4. (B) を 50 % にもどし、(A) 温度 T を 1200 K に上げて、v_rms、平均½mv²、部分圧が何倍になったかを調べる。Set (B) back to 50 %, raise (A) Temperature T to 1200 K, and find by what factor v_rms, the mean ½mv² and the partial pressures increased.

3確かめようCheck

1. 300 K・質量比4のとき、軽・重の v_rms と平均½mv² はどうでしたか。At 300 K with mass ratio 4, what were v_rms and the mean ½mv² for light and heavy?→ v_rms は軽 約79、重 約40（単位/s）で、比は約1.95〜2.0（理論 √4 = 2.00）。一方、平均½mv² はどちらも約 4.1×10⁻²¹ J、½mv² ÷ kT はどちらも約1.0 で等しかった。v_rms was about 79 for light and about 40 for heavy (units/s), a ratio of about 1.95–2.0 (theory √4 = 2.00). Meanwhile the mean ½mv² was about 4.1×10⁻²¹ J for both, and ½mv² ÷ kT was about 1.0 for both — equal.
2. 質量比を 4.0 倍から 1.0 倍にすると、何が変わり何が変わりませんでしたか。When the mass ratio went from 4.0 × to 1.0 ×, what changed and what did not?→ 重い分子の v_rms は約40から約80に上がり、軽い分子と同じになった（比 約1.0）。重い分子の円も小さくなった。しかし部分圧の理論値は軽・重とも 24.00 p₀ のままで、実測値もほぼ変わらなかった。The heavy molecules' v_rms rose from about 40 to about 80, the same as the light ones (ratio about 1.0), and their disks got smaller. But the theoretical partial pressures stayed at 24.00 p₀ for both, and the measured values hardly changed.
3. 重い分子の割合を 25 % にすると、分子数と部分圧はどうなりましたか。When the heavy fraction was set to 25 %, what happened to the numbers of molecules and the partial pressures?→ 合計は48個のまま、軽36個・重12個になった。部分圧の理論値は軽 36.00 p₀、重 12.00 p₀ と分子数に比例し、全圧は 48.00 p₀ で変わらなかった（実測は数％高め）。The total stayed at 48, now 36 light and 12 heavy. The theoretical partial pressures were 36.00 p₀ for light and 12.00 p₀ for heavy, proportional to the numbers of molecules, and the total stayed at 48.00 p₀ (the measured values were a few percent higher).
4. 温度を300 K から1200 K（4倍）にすると、何が何倍になりましたか。When the temperature went from 300 K to 1200 K (4 times), what increased, and by how much?→ 平均½mv² は軽・重とも約4倍（約16.5×10⁻²¹ J）、v_rms は約2倍（軽 約161、重 約80）、部分圧の理論値は 24 → 96 p₀ で4倍、全圧は 192 p₀ になった。v_rms比は約2.0のまま変わらなかった。The mean ½mv² became about 4 times larger for both (about 16.5×10⁻²¹ J), v_rms about 2 times (light about 161, heavy about 80), and the theoretical partial pressures went from 24 to 96 p₀ (4 times), giving a total of 192 p₀. The v_rms ratio stayed at about 2.0.

4考えようThink further

1. 重い分子は1回の衝突で壁に大きな運動量を与えるのに、部分圧が軽い分子と同じになるのはなぜですか。A heavy molecule gives the wall more momentum per hit, so why is its partial pressure the same as that of the light molecules?→ 1回の運動量変化は 2mv⊥ で m に比例するが、速さは 1/√m に比例して遅くなるので、壁にぶつかる回数（v に比例）は減る。圧力は「1回の運動量変化×回数」で mv² に比例し、平均の mv² は温度だけで決まるので、同じ分子数なら部分圧も等しくなる。The momentum change per hit is 2mv⊥, proportional to m, but the speed is proportional to 1/√m, so the number of hits (proportional to v) decreases. Pressure is (momentum change per hit) × (number of hits), proportional to mv², and the average mv² depends only on temperature, so equal numbers of molecules give equal partial pressures.
2. 空気（窒素約78 %・酸素約21 %）の圧力が1気圧のとき、酸素の部分圧はおよそいくらになりますか。このシミュレーションの結果を使って説明しよう。If air (about 78 % nitrogen and 21 % oxygen) is at 1 atm, about what is the partial pressure of oxygen? Explain using what you saw in this simulation.→ 部分圧は分子の種類や質量によらず分子数に比例するので、酸素の部分圧は全圧の約21 %、およそ0.21気圧になる。シミュレーションで割合を変えると部分圧が分子数の比に従って分かれ、全圧は和になったのと同じである。Partial pressure is proportional to the number of molecules regardless of their kind or mass, so oxygen's partial pressure is about 21 % of the total, roughly 0.21 atm. This is just like the simulation, where changing the fraction split the pressure in proportion to the numbers of molecules and the total was the sum.

よくある誤解Common misconceptions

• 「重い分子の気体のほうが圧力が大きい」→ 同じ温度・同じ分子数なら、質量によらず部分圧は等しい（質量比スライダーを動かしても部分圧はほぼ変わらない）。"A gas of heavier molecules has a higher pressure." At the same temperature and number of molecules, the partial pressure is the same regardless of mass (moving the mass-ratio slider barely changes the partial pressures).
• 「同じ温度なら分子の速さは同じ」→ 同じなのは平均運動エネルギーで、重い分子ほど遅い（質量4倍で速さは半分）。"At the same temperature, molecules move at the same speed." What is equal is the average kinetic energy; heavier molecules move more slowly (4 times the mass gives half the speed).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)