衝突から生まれる圧力 ― 分子速度分布Pressure from Collisions – Molecular Speed Distribution

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ温度で、軽いヘリウム He と重いアルゴン Ar を同じ容器に同じ数だけ入れると、分子の速さと圧力はそれぞれどうなると思いますか。At the same temperature, if the same number of light helium (He) or heavy argon (Ar) molecules is put in the same container, how do you think their molecular speeds and pressures will compare?💡 温度は分子1個の平均運動エネルギー (1/2)m⟨v²⟩ を表している。圧力は「1回の衝突の強さ」と「衝突の回数」の両方で決まる。Temperature measures the average kinetic energy of one molecule, (1/2)m⟨v²⟩. Pressure depends both on how hard each collision is and on how often collisions happen.
2. 温度を4倍にすると、分子の速さはどれくらいになると思いますか。If the temperature is made 4 times larger, how much faster do you think the molecules will move?💡 運動エネルギーは速さの2乗に比例することを使おう。Use the fact that kinetic energy is proportional to the square of the speed.

2動かしてみようTry it

1. 「温度 T」300 K、「気体」O₂ のまま数秒待ち、右の表示から v_rms（実測・理論）、最頻速さ v_p、平均 ⟨v⟩、圧力（実測と理論 NkT/V）、壁衝突の回数を記録する。下のヒストグラムのピークの位置も見る。With "Temperature T" at 300 K and "Gas" O₂, wait a few seconds, then record v_rms (measured and theory), the most probable speed v_p, the mean ⟨v⟩, the pressure (measured and theory NkT/V) and the wall-hit rate from the readout. Also note where the histogram peak is.
2. 「温度 T」を1200 K に上げ、数秒待ってから同じ値を記録する。分子の動き、ヒストグラムの山の位置と幅、圧力ゲージの変化を観察する。Raise "Temperature T" to 1200 K, wait a few seconds and record the same values. Watch the molecules, the position and width of the histogram hump, and the pressure gauge.
3. 「温度 T」を300 K にもどし、「気体」を He、Ar、Kr に順に切りかえて、それぞれ数秒待ってから v_rms・圧力・壁衝突の回数・直近の Δp = 2mv⊥ を記録する。Set "Temperature T" back to 300 K and switch "Gas" to He, Ar and Kr in turn. For each, wait a few seconds and record v_rms, the pressure, the wall-hit rate and the last Δp = 2mv⊥.
4. 「再サンプル」を押して速度を配り直し、ヒストグラムの棒（実測）と白い線（マクスウェル分布）を比べる。左辺 (1/2)m⟨v²⟩ と右辺 (3/2)kT の値も確認する。Press "Resample" to redraw the velocities, and compare the histogram bars (measured) with the white line (Maxwell distribution). Also check the values of the left side (1/2)m⟨v²⟩ and the right side (3/2)kT.

3確かめようCheck

1. O₂・300 K のとき、v_rms と圧力はいくらでしたか。For O₂ at 300 K, what were v_rms and the pressure?→ v_rms ≈ 484 m/s（理論 √(3kT/m) と一致）、v_p ≈ 395 m/s、⟨v⟩ ≈ 446 m/s で v_p < ⟨v⟩ < v_rms。圧力は理論 NkT/V = 828 kPa に対し、衝突からの実測は 770〜830 kPa 程度でゆらぎながら近い値になった。v_rms ≈ 484 m/s (matching the theory √(3kT/m)), v_p ≈ 395 m/s and ⟨v⟩ ≈ 446 m/s, so v_p < ⟨v⟩ < v_rms. The theoretical pressure NkT/V was 828 kPa, and the value measured from collisions fluctuated near it, around 770–830 kPa.
2. 温度を300 K から1200 K（4倍）にすると、何がどう変わりましたか。When the temperature went from 300 K to 1200 K (4 times), what changed and how?→ v_rms は 484 → 967 m/s で約2倍（√4倍）になり、ヒストグラムの山は高速側へ移って低く広がった。圧力の理論値は 828 → 3314 kPa でちょうど4倍になり、壁衝突の回数も増えた。v_rms went from 484 to 967 m/s, about 2 times (√4), and the histogram hump moved to higher speeds and became lower and wider. The theoretical pressure went from 828 to 3314 kPa, exactly 4 times, and the wall hits became more frequent.
3. 300 K で気体の種類を変えると、v_rms と圧力はどうなりましたか。At 300 K, how did v_rms and the pressure change when you changed the gas?→ v_rms は He 約1367 m/s、O₂ 約484 m/s、Ar 約433 m/s、Kr 約299 m/s と、重い分子ほど遅くなった（1/√m に比例）。それでも圧力の理論値はどれも 828 kPa で同じで、実測値もほぼ同じ（750〜800 kPa 前後）だった。v_rms was about 1367 m/s for He, 484 m/s for O₂, 433 m/s for Ar and 299 m/s for Kr: the heavier the molecule, the slower it moved (proportional to 1/√m). Even so, the theoretical pressure was 828 kPa for all of them, and the measured values were nearly the same (around 750–800 kPa).
4. He と Kr では、壁衝突の回数と1回の衝突の Δp = 2mv⊥ はどう違いましたか。How did He and Kr differ in the wall-hit rate and in Δp = 2mv⊥ per hit?→ He は壁衝突が約190回/秒と多いが、1回の Δp は約 8×10⁻²⁴ kg·m/s と小さい。Kr は約40回/秒と少ないが、Δp は約 4×10⁻²³ kg·m/s と大きい。回数×強さがつり合って、圧力はほぼ同じになる。He hit the walls often, about 190 times per second, but each Δp was small, about 8×10⁻²⁴ kg·m/s. Kr hit only about 40 times per second, but each Δp was large, about 4×10⁻²³ kg·m/s. Rate × strength balances out, so the pressure is nearly the same.

4考えようThink further

1. p = (1/3)(N/V)m⟨v²⟩ と (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)kT から、圧力が分子の質量によらない理由を式で説明しよう。Using p = (1/3)(N/V)m⟨v²⟩ and (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)kT, explain with equations why the pressure does not depend on the molecular mass.→ 2式から m⟨v²⟩ = 3kT なので、p = (1/3)(N/V)·3kT = NkT/V となり m が消える。重い分子は1回の衝突の運動量変化 2mv⊥ が大きいが、速さが遅く衝突回数が少ないので、その効果がちょうど打ち消し合う。これが状態方程式 pV = NkT（= nRT）である。From the two equations, m⟨v²⟩ = 3kT, so p = (1/3)(N/V)·3kT = NkT/V and m cancels out. A heavy molecule has a larger momentum change 2mv⊥ per hit, but it moves more slowly and hits less often, and the two effects exactly cancel. This is the equation of state pV = NkT (= nRT).
2. 地球の大気から水素やヘリウムが宇宙へ逃げやすく、窒素や酸素は逃げにくいのはなぜだと考えられますか。Why might hydrogen and helium escape from Earth's atmosphere into space more easily than nitrogen and oxygen?→ 同じ温度でも軽い分子ほど v_rms が大きく、分布の裾には非常に速い分子が多く含まれる。上空でそのような分子の一部が脱出速度（約11 km/s）を超えることがあり、軽い気体ほど少しずつ逃げていく。At the same temperature, lighter molecules have a larger v_rms, and the tail of their distribution contains more very fast molecules. High in the atmosphere some of these can exceed the escape velocity (about 11 km/s), so lighter gases gradually leak away.

よくある誤解Common misconceptions

• 「重い分子の気体ほど壁を強く押すので圧力が大きい」→ 1回の衝突は強いが、速さが遅く衝突回数が少ないため、同じ温度・体積・分子数なら圧力は同じ。"A gas of heavier molecules pushes harder on the walls, so its pressure is higher." Each hit is stronger, but the molecules are slower and hit less often, so at the same temperature, volume and number of molecules the pressure is the same.
• 「同じ温度の気体では分子はみな同じ速さで動いている」→ 速さには広い分布（マクスウェル分布）があり、温度が決めるのは平均の運動エネルギーである。"In a gas at one temperature, all molecules move at the same speed." Speeds are spread over a wide distribution (the Maxwell distribution); temperature sets the average kinetic energy.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)