カルノーサイクル PV図Carnot Cycle P-V Diagram

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 断熱膨張（熱の出入りなし）で気体が膨らむとき、気体の温度はどうなると思いますか。等温膨張との違いは何でしょう。When a gas expands adiabatically (no heat in or out), what do you think happens to its temperature? How is this different from isothermal expansion?💡 熱力学第一法則 Q＝ΔU＋W で、Q＝0 のとき気体が外に仕事をしたら内部エネルギー U はどうなるか考えよう。Use the first law, Q = ΔU + W: if Q = 0 and the gas does work on its surroundings, what must happen to its internal energy U?
2. 高温熱源の温度 T_H を上げると、熱機関の効率はどうなると思いますか。If the hot-reservoir temperature T_H is raised, what do you think happens to the engine's efficiency?💡 P–V図で、高温側の等温線と低温側の等温線の間隔が変わると、囲まれた面積がどう変わるか想像しよう。Imagine how the enclosed area on the P-V diagram changes when the gap between the hot isotherm and the cold isotherm changes.

2動かしてみようTry it

1. 「リセット」を押してから「一時停止」で止める。T_H = 800 K、T_L = 300 K のまま、下の表示の Q_H、Q_L、W、面積 ∮PdV、η = W/Q_H、1 − T_L/T_H、Q_L/Q_H、T_L/T_H を記録する。Press "Reset", then "Pause". With T_H = 800 K and T_L = 300 K, record Q_H, Q_L, W, Area ∮PdV, η = W/Q_H, 1 − T_L/T_H, Q_L/Q_H and T_L/T_H from the readout below.
2. 「ステップ送り」を1回ずつ押し、①等温膨張→②断熱膨張→③等温圧縮→④断熱圧縮の各過程の始まりで、温度 T、熱の矢印（Q_H・Q_L）の有無、ピストンの位置、「このサイクルの進行」の値を確認する。Press "Step" one at a time through ① Isothermal expansion → ② Adiabatic expansion → ③ Isothermal compression → ④ Adiabatic compression. At the start of each process, note the temperature T, whether a heat arrow (Q_H or Q_L) appears, the piston position and the "This cycle so far" values.
3. 「再生」でゆっくり動かし、②断熱膨張と④断熱圧縮の間に、粒子の色と速さ、温度表示、「粒子20個の総運動エネルギー」がどう変わるかを見る。等温過程中の値と比べる。Press "Play" and watch, during ② Adiabatic expansion and ④ Adiabatic compression, how the particle color and speed, the temperature and the "Total KE of 20 particles" change. Compare with the values during the isothermal processes.
4. T_H のスライダーを1200 K、400 K と変え、さらに T_L を200 K や400 K に動かして、P–V図の閉曲線の形と η、Q_L/Q_H の値を比べる。T_L を T_H に近づけすぎようとしたときの表示にも注目する。Move the T_H slider to 1200 K and 400 K, then move T_L to 200 K and 400 K, and compare the shape of the closed curve on the P-V diagram and the values of η and Q_L/Q_H. Notice the message when you try to bring T_L too close to T_H.

3確かめようCheck

1. T_H = 800 K、T_L = 300 K のとき、Q_H、Q_L、W、効率はいくらでしたか。W と面積の関係は？At T_H = 800 K and T_L = 300 K, what were Q_H, Q_L, W and the efficiency? How is W related to the area?→ Q_H ≈ 4610 J、Q_L ≈ 1729 J、W ≈ 2881 J（= Q_H − Q_L）で、閉曲線の面積 ∮PdV も 2881 J と一致した。η = W/Q_H = 0.6250 で、1 − T_L/T_H = 0.6250 と同じ。Q_L/Q_H = T_L/T_H = 0.3750 も一致した。Q_H ≈ 4610 J, Q_L ≈ 1729 J and W ≈ 2881 J (= Q_H − Q_L), and the enclosed area ∮PdV was also 2881 J. η = W/Q_H = 0.6250, the same as 1 − T_L/T_H = 0.6250. Q_L/Q_H = T_L/T_H = 0.3750 also matched.
2. 熱の矢印が出ていたのはどの過程でしたか。そのとき温度表示はどうでしたか。During which processes did a heat arrow appear? What did the temperature display do then?→ ①等温膨張では高温熱源から気体へ Q_H の矢印、③等温圧縮では気体から低温熱源へ Q_L の矢印が出た。どちらも温度は 800.0 K または 300.0 K のまま一定で、粒子の総運動エネルギーも変わらなかった。In ① Isothermal expansion a Q_H arrow went from the hot reservoir into the gas, and in ③ Isothermal compression a Q_L arrow went from the gas to the cold reservoir. In both, the temperature stayed constant at 800.0 K or 300.0 K, and the particles' total kinetic energy did not change.
3. ②断熱膨張と④断熱圧縮で、温度と粒子はどう変化しましたか。How did the temperature and the particles change during ② Adiabatic expansion and ④ Adiabatic compression?→ 熱の矢印は出ず、②では膨張しながら温度が 800 K → 300 K に連続的に下がり、粒子は赤っぽい色から青っぽい色になって遅くなった。④では圧縮されて 300 K → 800 K に上がり、粒子は速く赤っぽくなった。P–V図では断熱線は等温線より急な傾きだった。No heat arrow appeared. In ② the gas expanded while its temperature fell continuously from 800 K to 300 K, and the particles turned from reddish to bluish and slowed down. In ④ the gas was compressed and rose from 300 K to 800 K, and the particles sped up and turned reddish. On the P-V diagram the adiabats were steeper than the isotherms.
4. T_H や T_L を変えると効率はどうなりましたか。How did the efficiency change when you changed T_H or T_L?→ T_H = 1200 K, T_L = 300 K で η = 0.7500、T_H = 400 K, T_L = 200 K で η = 0.5000、T_H = 400 K, T_L = 350 K で η = 0.1250 となり、いつも 1 − T_L/T_H と一致した。温度差が大きいほど閉曲線の面積（W）が大きく、効率も高い。T_L は T_H − 50 K までに制限された。With T_H = 1200 K, T_L = 300 K, η = 0.7500; with T_H = 400 K, T_L = 200 K, η = 0.5000; with T_H = 400 K, T_L = 350 K, η = 0.1250 — always equal to 1 − T_L/T_H. The larger the temperature gap, the larger the enclosed area (W) and the higher the efficiency. T_L was limited to T_H − 50 K.

4考えようThink further

1. 1サイクルで気体の内部エネルギーの変化はいくらですか。それを使って、W = Q_H − Q_L になる理由を説明しよう。What is the change in the gas's internal energy over one full cycle? Use it to explain why W = Q_H − Q_L.→ 1周すると気体は元の状態 A にもどるので、内部エネルギーの変化は 0。熱力学第一法則より、1サイクルで気体が受け取った正味の熱 Q_H − Q_L がそのまま正味の仕事 W になる。2つの断熱過程の仕事（±C_V(T_H − T_L)）は打ち消し合う。After one cycle the gas returns to state A, so its internal energy change is 0. By the first law, the net heat taken in during one cycle, Q_H − Q_L, all becomes the net work W. The work in the two adiabatic processes (±C_V(T_H − T_L)) cancels.
2. 効率 η = 1 になる熱機関はつくれるでしょうか。このシミュレーションの式から考えよう。Can a heat engine with efficiency η = 1 be built? Reason from the formula used in this simulation.→ η = 1 − T_L/T_H が1になるには T_L = 0 K が必要で、現実には不可能。必ず一部の熱 Q_L を低温側に捨てなければならない（熱力学第二法則）。カルノーサイクルは同じ2つの温度の間で動く熱機関のうち最も効率が高い理想的な場合である。For η = 1 − T_L/T_H to equal 1, T_L would have to be 0 K, which is impossible in practice. Some heat Q_L must always be released to the cold side (the second law of thermodynamics). The Carnot cycle is the ideal, most efficient engine operating between two given temperatures.

よくある誤解Common misconceptions

• 「熱を加えないと気体の温度は変わらない」→ 断熱過程では熱の出入りがなくても、気体が仕事をしたりされたりすることで温度が変わる。"A gas's temperature cannot change unless heat is added or removed." In an adiabatic process there is no heat flow, yet the temperature changes because the gas does work or has work done on it.
• 「等温膨張では熱を受け取っても何も起こらない」→ 温度（内部エネルギー）は一定だが、受け取った熱はすべて外への仕事に使われている。"In isothermal expansion the heat absorbed does nothing." The temperature (internal energy) stays constant, but all the heat absorbed is converted into work done on the surroundings.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)