惑星3兄弟の公転レース（ケプラー第3法則）Planet Race: Kepler’s Third Law

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 太陽からの距離（半長軸）が地球の4倍の惑星があるとします。1回公転するのに何年かかると思いますか。Suppose a planet's distance from the Sun (semi-major axis) is 4 times Earth's. How many years do you think one orbit takes?💡 軌道が長くなるだけでなく、遠くでは太陽の引力が弱く、動く速さも変わる。単純に4倍とは限らない。Not only is the orbit longer; farther out the Sun's pull is weaker and the speed changes too. It may not be simply 4 times.
2. 細長い楕円軌道を回る惑星は、軌道のどこでも同じ速さで動くと思いますか。Do you think a planet on a stretched elliptical orbit moves at the same speed everywhere along its orbit?💡 太陽に近いところと遠いところで、太陽から受ける引力の大きさはどう違うだろう。How does the Sun's pull differ when the planet is near the Sun compared with far from it?

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（A の a 0.60、B の a 2.00、離心率 e 0.40）で動きを観察し、表の T[年] と T²/a³ を読む。尾の色（赤＝速い、青＝遅い）にも注目する。Watch the motion with the defaults (A: a 0.60, B: a 2.00, Eccentricity e 0.40) and read T[yr] and T²/a³ in the table. Also notice the trail colors (red = fast, blue = slow).
2. 「B の a」スライダーを 4.00 にして、B の周期 T と T²/a³ を読み、C（基準、a = 1.00）と比べる。Set the “B: a” slider to 4.00, read B's period T and T²/a³, and compare them with C (ref, a = 1.00).
3. 「離心率 e」を 0.60 まで上げ、近日点（右側）と遠日点（左側）で惑星の速さと表の r[AU] がどう変わるか見る。太陽が楕円の中心ではなく焦点にあることも確認する。Raise “Eccentricity e” to 0.60 and watch how each planet's speed and r[AU] in the table change between perihelion (right) and aphelion (left). Also confirm that the Sun is at a focus, not at the center of the ellipse.
4. 「離心率 e」を 0 にし、「A の a」を 1.00 にして「リセット」を押す。A と C が同じ周期でそろって回るか確かめる。Set “Eccentricity e” to 0 and “A: a” to 1.00, then press “Reset”. Check whether A and C go around together with the same period.
5. 「速度」を ×8.00 にして、表の「周回」で C が10周する間に B（a = 4.00）が何周するか数える。Set “Speed” to ×8.00 and use the “Orbits” column to count how many orbits B (a = 4.00) completes while C completes 10.

3確かめようCheck

1. a = 4.00 AU の惑星の周期は何年でしたか。T²/a³ の値はいくらですか。What was the period of the planet with a = 4.00 AU? What is its value of T²/a³?→ 8.000 年（= 4^(3/2)）。T²/a³ = 64/64 = 1.0000 で、A・C と同じ値だった。8.000 years (= 4^(3/2)). T²/a³ = 64/64 = 1.0000, the same as A and C.
2. a や e をどう変えても、3つの惑星の T²/a³ はどうなっていましたか。However a and e were changed, what happened to T²/a³ for the three planets?→ いつも 3 惑星とも 1.0000 で同じだった。周期は離心率 e によらず半長軸 a だけで決まる。It was always 1.0000 for all three planets. The period depends only on the semi-major axis a, not on the eccentricity e.
3. e = 0.40 のとき、C（a = 1.00）の太陽からの距離 r はどの範囲で変わり、どこで速く動きましたか。With e = 0.40, over what range does C's (a = 1.00) distance r from the Sun vary, and where does it move fastest?→ r は近日点の約 0.60 AU から遠日点の約 1.40 AU まで変わる。太陽に近い近日点（右側）で速く（尾が赤）、遠日点（左側）で遅く（尾が青）動いた。r varies from about 0.60 AU at perihelion to about 1.40 AU at aphelion. It moved fastest near perihelion on the right (red trail) and slowest at aphelion on the left (blue trail).
4. C が10周する間に、a = 4.00 の B は何周しましたか。While C completed 10 orbits, how many did B with a = 4.00 complete?→ 約1周（周期が8年なので、10年では1周と少し）。外側の惑星ほどゆっくり回る。About 1 orbit (its period is 8 years, so in 10 years it goes a little more than once around). Outer planets go around more slowly.

4考えようThink further

1. T²/a³ がすべての惑星で同じ値になるのはなぜですか。万有引力の法則と円運動から考えよう。Why is T²/a³ the same for every planet? Reason from the law of universal gravitation and circular motion.→ 円軌道なら、万有引力 GMm/a² が向心力 m(2π/T)²a になるので、T²/a³ = 4π²/(GM) となる。惑星の質量 m は消え、太陽の質量 M だけで決まるから、同じ太陽を回るすべての惑星で共通になる。For a circular orbit, gravity GMm/a² provides the centripetal force m(2π/T)²a, giving T²/a³ = 4π²/(GM). The planet's mass m cancels, so the value depends only on the Sun's mass M and is common to all planets orbiting the same Sun.
2. 惑星が近日点で速く遠日点で遅くなるのはなぜですか。Why does a planet move faster at perihelion and slower at aphelion?→ 太陽に近づくとき引力が速度と同じ向きの成分をもって加速し、遠ざかるときは減速させるから。ケプラーの第2法則（面積速度一定）でも、太陽に近いほど速く動かないと同じ時間に同じ面積を掃けないことがわかる。While approaching the Sun, gravity has a component along the velocity and speeds the planet up; while moving away it slows it down. Kepler's second law (equal areas in equal times) also requires a planet close to the Sun to move faster to sweep the same area in the same time.

よくある誤解Common misconceptions

• 太陽は楕円軌道の中心にある。→ 太陽は楕円の焦点にあり、中心から a·e だけずれている。The Sun is at the center of an elliptical orbit. → The Sun is at a focus of the ellipse, offset from the center by a·e.
• 距離が2倍なら周期も2倍。→ 周期は a^(3/2) に比例するので、距離4倍で周期は8倍になる。Twice the distance means twice the period. → The period is proportional to a^(3/2), so 4 times the distance gives 8 times the period.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)