円錐振り子で学ぶ向心力Centripetal Force with a Conical Pendulum

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 遊園地の回転椅子に重い大人と軽い子どもが同じ周期で回っているとき、紐が鉛直となす角度はどちらが大きくなると思いますか。On a swing ride, a heavy adult and a light child go around with the same period. Whose chain do you think makes a larger angle with the vertical?💡 重さが2倍になると、重力も張力も、中心に引く力も変わる。必要な向心力と、それを作る力の両方がどう変わるか考えよう。If the mass doubles, gravity, tension and the force needed to pull toward the center all change. Think about how both the needed centripetal force and the forces that supply it scale.
2. 椅子に働く力は重力と張力の2つだけです。張力の矢印はどの向きに描くのが正しいと思いますか（円の中心向き？進行方向？紐に沿った向き？）。Only two forces act on the chair: gravity and tension. Which direction should the tension arrow point — toward the center, along the motion, or along the string?💡 紐は「引く」ことしかできない。紐が引っぱる向きはどこで決まるだろうか。A string can only pull. What decides the direction in which a string pulls?

2動かしてみようTry it

1. 初期設定（周期 T: 1.80 s、紐の長さ L: 2.00 m、質量 m: 2.0 kg）のまま、左の側面図で張力 S・重力 mg・合力の矢印の向きを、右の俯瞰図で速度 v（緑）と向心力の向き（紫）を観察する。必要なら「一時停止」を押して止める。With the default settings (Period T: 1.80 s, Length L: 2.00 m, Mass m: 2.0 kg), look at the S, mg and “Net force” arrows in the left side view and at the velocity v (green) and centripetal direction (purple) in the right top view. Press “Pause” to freeze the motion if needed.
2. 「質量 m」スライダーを 2.0 kg から 5.0 kg まで動かし、θ・r・v・a の表示と円の大きさ、矢印の長さがそれぞれ変わるかどうかを確かめる。Move the “Mass m” slider from 2.0 kg to 5.0 kg and check whether θ, r, v, a, the size of the circle and the arrow lengths change.
3. 質量を戻し、「周期 T」スライダーを 1.80 s → 1.00 s、→ 3.00 s と動かして、θ と r の変化、および画面に出る ⚠ の注意表示を読む。Reset the mass, then move the “Period T” slider from 1.80 s to 1.00 s and then to 3.00 s. Watch how θ and r change and read the ⚠ warning that appears.
4. 「周期 T」を 1.80 s に戻し、「紐の長さ L」スライダーを 1.00 m と 3.00 m にして θ・v・張力 S を比べる。Set “Period T” back to 1.80 s and set the “Length L” slider to 1.00 m and to 3.00 m, comparing θ, v and the tension S.
5. どの設定でも、数値表示の「合力 mv²/r」と「合力 mg tanθ」、「a=4π²r/T²」と「g tanθ」がそれぞれ一致していることを確認する。For every setting, confirm that “Net force mv²/r” equals “Net force mg tanθ”, and that “a=4π²r/T²” equals “g tanθ” in the readout.

3確かめようCheck

1. 張力 S の矢印はどの向きを向いていますか。重力と張力の合力はどの向きですか。Which way does the tension arrow S point? Which way does the resultant of gravity and tension point?→ 張力は紐に沿って支点の方向（斜め上）を向く。重力との合力は水平で、円の中心（鉛直の軸）を向いている。The tension points along the string toward the pivot (up and inward). Its resultant with gravity is horizontal and points to the center of the circle (the vertical axis).
2. 質量 m を 2.0 kg から 5.0 kg にすると何が変わり、何が変わりませんか。When the mass m goes from 2.0 kg to 5.0 kg, what changes and what does not?→ 重力・張力・合力の大きさ（矢印）は2.5倍になる（例：重力 19.6 N → 49.0 N、張力 約48.7 N → 約121.9 N）。θ（約66.3°）、r（約1.83 m）、v（約6.39 m/s）、a（約22.3 m/s²）は変わらない。The magnitudes (arrows) of weight, tension and net force grow 2.5 times (e.g. weight 19.6 N → 49.0 N, tension about 48.7 N → 121.9 N). θ (about 66.3°), r (about 1.83 m), v (about 6.39 m/s) and a (about 22.3 m/s²) stay the same.
3. L = 2.00 m で周期 T を短くすると θ はどうなりますか。T = 3.00 s ではどうなりますか。With L = 2.00 m, what happens to θ when the period T is made shorter? What happens at T = 3.00 s?→ T を短くする（速く回す）ほど θ は大きくなり、T = 1.00 s では約83°で紐がほぼ水平になり、張力は mg の約8倍になる。T = 3.00 s は 2π√(L/g) ≈ 2.84 s より長いので円運動が成立せず、θ = 0° で垂直にぶら下がる。The shorter T is (the faster it turns), the larger θ becomes; at T = 1.00 s θ is about 83°, the string is nearly horizontal and the tension is about 8 times mg. T = 3.00 s is longer than 2π√(L/g) ≈ 2.84 s, so circular motion is impossible and the chair hangs straight down with θ = 0°.
4. 俯瞰図で、速度ベクトルと向心力の向きはどんな関係ですか。速さは変わりますか。In the top view, how are the velocity vector and the centripetal direction related? Does the speed change?→ 速度は常に円の接線方向、向心力は中心向きで、両者はいつも垂直。速度の矢印の長さは一定で（例：v = 6.39 m/s）、速さは変わらない。The velocity is always tangent to the circle and the centripetal force points to the center, so they are always perpendicular. The velocity arrow keeps the same length (e.g. v = 6.39 m/s), so the speed does not change.

4考えようThink further

1. なぜ円錐振り子の角度θは質量によらないのでしょうか。運動方程式を使って説明しよう。Why does the angle θ of a conical pendulum not depend on the mass? Explain using the equation of motion.→ 鉛直方向のつり合い S cosθ = mg と水平方向の運動方程式 S sinθ = m·4π²r/T²（r = L sinθ）から S を消すと cosθ = gT²/(4π²L) となり、m が両辺で約分されて消えるから。重力も必要な向心力も m に比例するため、形は同じになる。From vertical balance S cosθ = mg and the horizontal equation of motion S sinθ = m·4π²r/T² (with r = L sinθ), eliminating S gives cosθ = gT²/(4π²L); m cancels on both sides. Gravity and the required centripetal force are both proportional to m, so the shape is the same.
2. 「向心力」という第3の力が椅子に働いていると考えるのは正しいでしょうか。Is it correct to think that a third force called “centripetal force” acts on the chair?→ 正しくない。椅子に働く力は重力と張力の2つだけで、その合力（水平成分）が向心力の役割を果たしている。向心力は力の種類ではなく、中心向きの合力につけた名前である。No. Only gravity and tension act on the chair; their resultant (the horizontal part) plays the role of the centripetal force. Centripetal force is not a separate kind of force but the name for the net force directed toward the center.

よくある誤解Common misconceptions

• 張力は円の中心や進行方向を向く。→ 紐の張力は常に紐に沿った向きで、中心向きなのは重力との合力である。Tension points toward the center or along the motion. → String tension always acts along the string; it is the resultant with gravity that points to the center.
• 重い人ほど外側に振られて角度が大きくなる。→ 同じ周期・同じ紐の長さなら、角度・半径・速さは質量に関係なく同じ。Heavier riders swing out farther. → For the same period and string length, the angle, radius and speed are the same regardless of mass.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)