単振動は円運動の射影：水平ばね振り子と位相円SHM as a Projection of Circular Motion: Spring and Phase Circle

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 円周上を一定の速さで回る点を真横から見る（直径の上に影を落とす）と、影はどんな動き方をすると思いますか。端と中央で速さはどう違うでしょう。If you look at a point moving around a circle at constant speed from the side (casting its shadow onto a diameter), how do you think the shadow moves? How does its speed differ at the ends and in the middle?💡 点が円の一番端にいるときと、中心の真上（真下）を通るとき、点の進む向きは直径に対してどうなっているかを考えよう。Think about the direction the point is moving relative to the diameter when it is at the far edge, and when it passes directly above or below the center.
2. ばね振り子の振幅 A を半分にすると、周期と全エネルギーはそれぞれどうなると思いますか。If the amplitude A of the spring oscillator is halved, what do you think happens to the period and to the total energy?💡 位相円で考えると、半径が小さくなっても回る角速度は変わるだろうか。エネルギーは x の何乗に比例するかも思い出そう。Using the phase circle: if the radius gets smaller, does the angular velocity change? Also recall which power of x the elastic energy depends on.

2動かしてみようTry it

1. 初期値（m = 1.00 kg、k = 10 N/m、A = 1.00 m）で、位相円の回転点から質点へ引かれた破線（影）を観察する。左上の「回転点の横座標」と「質点の x」が常に一致するか、ばねが x < 0 で自然長より短く描かれるかを確かめる。「速度 ×1」を押すと ×0.5 → ×0.25 → ×0.1 と遅くなる。With the default values (m = 1.00 kg, k = 10 N/m, A = 1.00 m), watch the dashed line (shadow) from the rotating point on the phase circle to the block. Check that the top-left readouts "Rotating point x" and "block x" always match, and that the spring is drawn shorter than its natural length when x < 0. Pressing "Speed ×1" slows it to ×0.5 → ×0.25 → ×0.1.
2. 「一時停止」を使い、x が +A や −A（折り返し点）のときと 0（平衡）のときの v-t グラフの値、エネルギー棒グラフ（U=½kx²、K=½mv²、E=U+K）を読み取る。x-t グラフと v-t グラフの山の位置のずれも比べる。Using "Pause", read the v-t graph value and the energy bars (U=½kx², K=½mv², E=U+K) when x is +A or −A (turning points) and when x is 0 (equilibrium). Also compare how the peaks of the x-t and v-t graphs are shifted.
3. A のスライダーを 1.00 m → 0.50 m にし、パネルの「実測周期」と「U+K = … = ½kA²」の値を記録する。Move the A slider from 1.00 m to 0.50 m and record the "Measured period" and the "U+K = … = ½kA²" value in the panel.
4. A を 1.00 m に戻し、m を 4.00 kg にしたとき、m を 1.00 kg に戻して k を 40 N/m にしたときの、ω・T・実測周期・U+K を記録する。「リセット」を押すと t = 0 から再スタートする。Return A to 1.00 m. Record ω, T, the measured period and U+K when m is set to 4.00 kg, and then when m is back at 1.00 kg and k is set to 40 N/m. Press "Reset" to restart from t = 0.

3確かめようCheck

1. 初期値のとき、理論周期と実測周期はいくらか。A を 0.50 m にすると周期はどうなったか。With the default values, what are the theoretical and measured periods? What happened to the period when A was set to 0.50 m?→ T = 2π√(m/k) = 1.987 s で、実測周期も 1.987 s。A を 0.50 m にしても 1.987 s のまま変わらない（等時性）。位相円の半径は小さくなるが、回る速さ（角速度 ω = 3.162 rad/s）は同じである。T = 2π√(m/k) = 1.987 s, and the measured period is also 1.987 s. With A = 0.50 m it stays at 1.987 s (isochronism). The phase circle gets smaller, but its angular velocity (ω = 3.162 rad/s) stays the same.
2. x が ±A（折り返し点）のときと 0（平衡）のとき、v と U・K はそれぞれどうなっているか。When x is ±A (turning points) and when x is 0 (equilibrium), what are v, U and K?→ 折り返し点では v = 0 で K = 0、U が最大（= E）。平衡点では |v| が最大（初期値で Aω ≈ 3.16 m/s）で U = 0、K が最大（= E）。どの瞬間も U + K は 5.000 J で一定。At the turning points v = 0, so K = 0 and U is maximum (= E). At equilibrium |v| is maximum (Aω ≈ 3.16 m/s with the defaults), U = 0 and K is maximum (= E). At every instant U + K = 5.000 J, constant.
3. x-t グラフと v-t グラフを比べると、v の山は x の山より前・後のどちらに、どれだけずれているか。Comparing the x-t and v-t graphs, is each peak of v earlier or later than the peak of x, and by how much?→ v の山は x の山より 1/4 周期（T/4）早く来る。つまり v = Aω cos(ωt + 90°) で、v は x より位相が90°進んでいる。Each peak of v comes a quarter period (T/4) earlier than the peak of x. That is, v = Aω cos(ωt + 90°): v leads x by 90° in phase.
4. m = 4.00 kg、または k = 40 N/m にしたとき、周期と U+K はどうなったか。What happened to the period and to U+K when m = 4.00 kg, or when k = 40 N/m?→ m = 4.00 kg では T = 3.974 s（2倍）で U+K = 5.000 J のまま。k = 40 N/m では T = 0.993 s（半分）、U+K = ½kA² = 20.000 J（4倍）。T は √(m/k) に比例し、全エネルギーは k と A で決まる。With m = 4.00 kg, T = 3.974 s (doubled) and U+K stays 5.000 J. With k = 40 N/m, T = 0.993 s (halved) and U+K = ½kA² = 20.000 J (4 times). T is proportional to √(m/k), and the total energy is set by k and A.

4考えようThink further

1. 位相円を使うと、単振動の速度の最大値が Aω になる理由をどう説明できるか。How can the phase circle explain why the maximum speed in simple harmonic motion is Aω?→ 円周上の点は速さ Aω で回っている。点が円の中心の真上・真下を通るとき、その速度は直径と平行になるので、影（質点）の速さは点の速さ Aω と等しくなり最大となる。端では点の速度が直径に垂直なので影の速さは 0 になる。The point on the circle moves at speed Aω. When it passes directly above or below the center, its velocity is parallel to the diameter, so the shadow (the block) moves at the full speed Aω, the maximum. At the edges the point's velocity is perpendicular to the diameter, so the shadow's speed is 0.
2. 全エネルギー E = ½kA² に質量 m が入っていないのに、周期 T には m が入るのはなぜか。Why does the total energy E = ½kA² not contain the mass m, while the period T does?→ E は最大変位 A でのばねの弾性エネルギーで決まり、ばね（k）と引き伸ばした量（A）だけで決まる。一方、そのエネルギーで動かす物体が重いほど最大の速さ Aω（ω = √(k/m)）は小さくなり、往復に時間がかかるので T は √m に比例する。E equals the spring's elastic energy at maximum displacement A, so it depends only on the spring (k) and how far it is stretched (A). But the heavier the object driven by that energy, the smaller the maximum speed Aω (ω = √(k/m)), so a round trip takes longer and T is proportional to √m.

よくある誤解Common misconceptions

• 振幅が大きいほど移動距離が長いので周期も長くなるという誤解。振幅が大きいと復元力も速さも大きくなり、周期は変わらない（等時性）。Thinking that a larger amplitude means a longer distance and therefore a longer period. With a larger amplitude the restoring force and the speed are also larger, so the period stays the same (isochronism).
• 速さが最大なのは端（折り返し点）だという誤解。端では一瞬止まり（v = 0）、速さは平衡位置で最大になる。端で最大なのは加速度と弾性エネルギーである。Thinking the speed is greatest at the ends (turning points). At the ends the block stops for an instant (v = 0); the speed is greatest at equilibrium. What is greatest at the ends is the acceleration and the elastic energy.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)