鉛直ばね振り子の単振動Vertical Spring: Simple Harmonic Motion

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 天井からつるしたばねにおもりをつけて上下に振動させる。おもりはどの位置を中心に振動すると思いますか。ばねの自然長の位置でしょうか。A mass hangs from a spring attached to the ceiling and is set bouncing up and down. About which position do you think the mass oscillates? Is it the position of the spring's natural length?💡 おもりを静かにつるしたとき、ばねはどうなっているか。おもりにはたらく力がつり合う位置を考えよう。What does the spring look like when the mass hangs at rest? Think about where the forces on the mass balance.
2. 振幅を大きくすると、1往復にかかる時間（周期）は長くなる、短くなる、変わらない、のどれだと思いますか。If the amplitude is increased, do you think the time for one full oscillation (the period) becomes longer, shorter, or stays the same?💡 振幅が大きいと移動距離は長くなるが、ばねの力も大きくなる。両方を考えてみよう。A larger amplitude means a longer distance to travel, but also a larger spring force. Consider both.

2動かしてみようTry it

1. 初期値（「質量 m」1.00 kg、「ばね定数 k」40 N/m、「振幅 A」0.20 m）で観察し、図の「自然長L0」「釣り合い」「現在位置」の破線と、上部の T(理論)・T(実測)・静止伸び mg/k を記録する。おもりの v（オレンジ）と a（紫）の矢印の向きと長さが、上端・中心・下端でどうなるか見る（「一時停止」で止めるとよい）。Observe with the default values ("Mass m" 1.00 kg, "Spring constant k" 40 N/m, "Amplitude A" 0.20 m). Record the dashed lines "natural L0", "equilibrium" and "current" in the figure, and T(theory), T(measured) and "Stretch at rest mg/k" at the top. Watch how the v (orange) and a (purple) arrows on the mass change in direction and length at the top, center and bottom (use "Pause" to stop it).
2. 「振幅 A」を 0.05 m に下げ、T(実測) と、右のグラフの波の間隔が変わるかを確かめる。下のエネルギーバー K と U の合計（K+U）の値も記録する。Lower "Amplitude A" to 0.05 m and check whether T(measured) and the spacing of the waves in the graph change. Also record the total K+U shown under the energy bar.
3. 「振幅 A」を 0.20 m に戻し、「質量 m」を 4.00 kg にして、T(理論)、静止伸び mg/k、釣り合いの破線の位置、K+U の値の変化を記録する。Return "Amplitude A" to 0.20 m and set "Mass m" to 4.00 kg. Record how T(theory), "Stretch at rest mg/k", the position of the equilibrium dashed line and K+U change.
4. 「質量 m」を 1.00 kg に戻し、「ばね定数 k」を 160 N/m にして T と mg/k を記録する。必要なら「リセット(t=0)」で最初から、「a 表示 ON」「v 表示 ON」ボタンでグラフと矢印の表示を切りかえる。Return "Mass m" to 1.00 kg and set "Spring constant k" to 160 N/m, then record T and mg/k. If needed, press "Reset (t=0)" to start over, and use the "v: ON" and "a: ON" buttons to switch the graphs and arrows on or off.

3確かめようCheck

1. 初期値のとき、おもりはどこを中心に振動しているか。自然長からの伸びはいくらか。With the default values, about which position is the mass oscillating? How much is the spring stretched beyond its natural length there?→ 「釣り合い」の破線（自然長 0.30 m より mg/k = 0.245 m 下）を中心に、上下に 0.20 m ずつ振動している。自然長の位置は振動の中心ではない。It oscillates 0.20 m up and down about the "equilibrium" dashed line, which is mg/k = 0.245 m below the natural length (0.30 m). The natural-length position is not the center of oscillation.
2. 振幅を 0.20 m から 0.05 m にすると、周期と K+U はどうなったか。When the amplitude went from 0.20 m to 0.05 m, what happened to the period and to K+U?→ T(実測) は 0.993 s のまま変わらない（等時性）。K+U = ½kA² は 0.800 J から 0.050 J（1/16）に減る。T(measured) stays at 0.993 s (isochronism). K+U = ½kA² drops from 0.800 J to 0.050 J (1/16).
3. m = 4.00 kg や k = 160 N/m にすると、周期と静止伸びはそれぞれいくらになったか。What were the period and the stretch at rest for m = 4.00 kg and for k = 160 N/m?→ m = 4.00 kg（k = 40）では T = 1.987 s（2倍）、mg/k = 0.980 m。k = 160 N/m（m = 1.00）では T ≈ 0.497 s（半分）、mg/k ≈ 0.061 m。T は √(m/k) に比例する。質量を変えても K+U は 0.800 J のまま（½kA² に m は入らない）。With m = 4.00 kg (k = 40), T = 1.987 s (doubled) and mg/k = 0.980 m. With k = 160 N/m (m = 1.00), T ≈ 0.497 s (halved) and mg/k ≈ 0.061 m. T is proportional to √(m/k). Changing the mass leaves K+U at 0.800 J (½kA² does not contain m).
4. 速さ v と加速度 a の矢印は、振動の中心と上下の端でそれぞれどうなっているか。What do the velocity v and acceleration a arrows look like at the center and at the top and bottom ends?→ 中心では v が最大で a は 0、上下の端では v が 0 で a が最大になる。a は常に中心向きで、グラフでも a は x と逆向き（a = −ω²x）になっている。At the center v is maximum and a is zero; at the ends v is zero and a is maximum. a always points toward the center, and in the graph a is opposite to x (a = −ω²x).

4考えようThink further

1. 重力がはたらいているのに、鉛直ばね振り子の周期が水平ばね振り子と同じ 2π√(m/k) になるのはなぜか。Even though gravity acts, why is the period of a vertical spring oscillator the same as for a horizontal one, 2π√(m/k)?→ 釣り合い位置では kd = mg（d = mg/k）が成り立つ。釣り合い位置から x ずれたときの合力は mg − k(d + x) = −kx となり、重力はばねの力の一部と打ち消し合って振動の中心をずらすだけになる。復元力の比例定数は k のままなので、周期は変わらない。At equilibrium kd = mg (d = mg/k). When displaced by x from equilibrium, the net force is mg − k(d + x) = −kx, so gravity just cancels part of the spring force and shifts the center of oscillation. The restoring-force constant is still k, so the period is unchanged.
2. 同じばねを月面（重力が地球の約1/6）で使うと、釣り合い位置と周期はどうなるか。If the same spring and mass were used on the Moon (gravity about 1/6 of Earth's), what would happen to the equilibrium position and the period?→ 静止伸び mg/k は約1/6になり、釣り合い位置は上に移る。しかし周期 T = 2π√(m/k) には g が入らないので変わらない（このシミュレーションでは g = 9.8 m/s² に固定）。The stretch at rest mg/k becomes about 1/6, so the equilibrium position moves up. But the period T = 2π√(m/k) does not contain g, so it stays the same (in this simulation g is fixed at 9.8 m/s²).

よくある誤解Common misconceptions

• 鉛直ばね振り子はばねの自然長の位置を中心に振動するという誤解。実際は mg/k だけ伸びた釣り合い位置が振動の中心である。Thinking a vertical spring oscillator oscillates about the spring's natural length. Actually the center of oscillation is the equilibrium position, where the spring is stretched by mg/k.
• 振幅を大きくすると周期が長くなるという誤解。ばね振り子の周期は振幅によらない（等時性）。Thinking a larger amplitude makes the period longer. The period of a spring oscillator does not depend on amplitude (isochronism).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)