ボールの反発バウンドBouncing Ball and Restitution

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 反発係数 e = 0.80 のボールを 2.00 m から落とす。1回目に跳ね返ったあとの最高到達高さは、2.00 m の何倍になると思いますか。0.80倍でしょうか、それとも別の値でしょうか。A ball with coefficient of restitution e = 0.80 is dropped from 2.00 m. After the first bounce, what fraction of 2.00 m do you think its peak height will be? Is it 0.80 times, or some other value?💡 e が直接関係するのは「速さ」の比。高さは速さとどんな関係にあったか（v² = 2gh）を思い出そう。e is a ratio of speeds. Recall how height is related to speed (v² = 2gh).
2. ボールの質量を4倍にすると、跳ね返る高さや失われるエネルギーはそれぞれどうなると思いますか。If the mass of the ball is made 4 times larger, what do you think happens to the bounce heights, and to the energy lost?💡 自由落下の運動に質量は関係するか、エネルギーの式 mgh、½mv² には質量が入っているか、を分けて考えよう。Think separately about whether mass affects free-fall motion, and whether mass appears in the energy formulas mgh and ½mv².

2動かしてみようTry it

1. 「反発係数 e」を 0.80、「初期高さ h₀」を 2.00 m、「質量 m」を 0.50 kg にする（はじめからこの値）。「スロー ×¼」を押してゆっくり再生し、左の画面でボールが床に近いほど速く、頂点で一瞬止まる様子と、「衝突！ × n 回目」の表示に出る |v| の変化（直前 → 直後）を観察する。Set "Restitution e" to 0.80, "Start h₀" to 2.00 m and "Mass m" to 0.50 kg (the default values). Press "Slow ×¼" to play slowly, and on the left watch the ball move fastest near the floor and stop for an instant at the top, and read the |v| change (before → after) shown in the "Bounce! #n" label.
2. 右上の棒グラフ「バウンドごとの最高到達高さ hₙ」で、青い棒（実測）とオレンジの◆（理論 e²ⁿh₀）が重なるか確かめ、HUDの「高さ比」「頂点間隔比」「KE直後/KE直前」の値を記録する。In the top-right bar chart "Peak height after each bounce hₙ", check whether the blue bars (measured) match the orange ◆ (theory e²ⁿh₀), and record the "Height ratio", "Apex interval ratio" and "KE after/KE before" values.
3. 「質量 m」を 2.00 kg にする（運動は最初からやり直しになる）。棒グラフの高さと、エネルギーバーの「E₀=mgh₀」や「損失」の値（J）が 0.50 kg のときとどう違うか比べる。Set "Mass m" to 2.00 kg (the motion restarts). Compare the bar-chart heights and the energy-bar values "E₀=mgh₀" and "Lost" (in J) with those for 0.50 kg.
4. 「反発係数 e」を 0.50 に変え、ボールが「静止」するまで見る。HUD の「バウンド回数 n」と「失われたE」、3つの比の値を e = 0.80 のときと比べる。Change "Restitution e" to 0.50 and watch until the ball shows "At rest". Compare "Bounces n", "Energy lost" and the three ratios in the HUD with the e = 0.80 case.
5. 止まったら「リセット」→「スタート」で何度でも最初から再生できる。「一時停止」を使って、衝突の直前・直後のエネルギーバー「直前→直後KE」を読み取る。After it stops, press "Reset" and then "Start" to replay from the beginning. Use "Pause" to read the "KE before→after" bars just before and after a collision.

3確かめようCheck

1. e = 0.80 のとき、「高さ比」hₙ/hₙ₋₁ はいくつか。棒グラフの高さ（h₀ = 2.00 m）はどのように減っていくか。With e = 0.80, what is the "Height ratio" hₙ/hₙ₋₁? How do the bar heights (h₀ = 2.00 m) decrease?→ 0.6400 で e² と一致する。高さは 2.00 → 約1.28 → 約0.82 → 約0.52 m … と、毎回同じ割合 0.64 倍で減り、青い棒は理論の◆と重なる。It is 0.6400, equal to e². The heights go 2.00 → about 1.28 → about 0.82 → about 0.52 m …, shrinking by the same factor 0.64 each time, and the blue bars sit on the theoretical ◆.
2. 「頂点間隔比」と「KE直後/KE直前」はそれぞれいくつか。e = 0.50 にするとどう変わるか。What are the "Apex interval ratio" and "KE after/KE before"? How do they change when e = 0.50?→ e = 0.80 では頂点間隔比 0.8000（= e）、KE直後/KE直前 0.6400（= e²）。e = 0.50 では 0.5000 と 0.2500 になり、高さ比も 0.2500 になる。For e = 0.80 the apex interval ratio is 0.8000 (= e) and KE after/KE before is 0.6400 (= e²). For e = 0.50 they become 0.5000 and 0.2500, and the height ratio also becomes 0.2500.
3. 「質量 m」を 0.50 kg から 2.00 kg にすると、棒グラフの高さとエネルギーの値はどうなったか。When "Mass m" is changed from 0.50 kg to 2.00 kg, what happened to the bar heights and to the energy values?→ 跳ね返る高さ（棒グラフ）は全く変わらない。一方、E₀ = mgh₀ は 9.80 J から 39.20 J へと4倍になり、失われたエネルギーなどジュールの値もすべて4倍になる。The bounce heights (bar chart) do not change at all. However, E₀ = mgh₀ goes from 9.80 J to 39.20 J, four times larger, and all values in joules, such as the energy lost, also become four times larger.
4. エネルギーバーで、衝突の前後で変わるのはどの部分か。ボールが飛んでいる間、力学的エネルギー（白線）は変化するか。In the energy bar, which part changes at a collision? While the ball is in the air, does the mechanical energy (white line) change?→ 飛んでいる間は位置エネルギーと運動エネルギーが入れかわるだけで白線の高さ（力学的エネルギー）は一定。衝突の瞬間だけ運動エネルギーが e² 倍に減り、その差が赤い「損失」として積み上がる。In the air, potential and kinetic energy only exchange, and the white line (mechanical energy) stays constant. Only at the instant of collision does the kinetic energy drop to e² times its value, and the difference piles up as the red "Lost" part.

4考えようThink further

1. 頂点間の時間が毎回 e 倍になるのはなぜか。跳ね返り直後の速さ v′ を使って説明しよう。Why does the time between peaks become e times shorter each bounce? Explain using the rebound speed v′.→ 床から跳ね上がって再び床に戻るまでの時間は 2v′/g で、速さ v′ に比例する。v′ が毎回 e 倍になるので、滞空時間（頂点間の時間）も毎回 e 倍になる。高さは v′²/2g なので e² 倍になる。The time from leaving the floor to landing again is 2v′/g, which is proportional to the rebound speed v′. Since v′ is multiplied by e each bounce, the flight time (time between peaks) is also multiplied by e. The height is v′²/2g, so it is multiplied by e².
2. 衝突で失われたエネルギーはどこへ行ったのか。e = 1 なら何が起こるか。Where does the energy lost in a collision go? What would happen if e = 1?→ ボールや床の変形による熱や音などに変わる（エネルギー全体は保存されている）。e = 1（弾性衝突）なら運動エネルギーは失われず、ボールは毎回 h₀ まで戻る。現実のボールは e < 1 で、このシミュレーションでも e は最大 0.95。It turns into heat, sound, etc., from deforming the ball and floor (total energy is still conserved). If e = 1 (an elastic collision), no kinetic energy is lost and the ball would return to h₀ every time. Real balls have e < 1, and in this simulation e goes up to 0.95.

よくある誤解Common misconceptions

• 反発係数 e = 0.8 なら高さも0.8倍になる、という誤解。e は速さの比なので、高さは e² = 0.64 倍になる。Thinking that e = 0.8 means the height also becomes 0.8 times. e is a ratio of speeds, so the height becomes e² = 0.64 times.
• 重いボールほど高く（または低く）跳ねる、という誤解。空気抵抗を無視すれば、跳ね返る高さは質量によらず e と h₀ だけで決まる。質量で変わるのはエネルギーの大きさ（J）である。Thinking that a heavier ball bounces higher (or lower). Ignoring air resistance, the bounce height depends only on e and h₀, not on mass. What mass changes is the amount of energy in joules.

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)