運動量保存と反発係数の1次元衝突1D Collisions: Momentum and Restitution

1予想しよう（触る前に）Predict (before you touch anything)

1. 同じ質量の球Aが、静止している球Bに速さ 3 m/s で正面からぶつかります(e = 1)。ぶつかった後、それぞれの球はどう動くと思いますか。Ball A moving at 3 m/s hits an identical ball B at rest, head-on (e = 1). How do you think each ball moves after the collision?💡 ニュートンのゆりかご(振り子が並んだおもちゃ)の動きを思い出してみましょう。Think about how a Newton's cradle (the toy with a row of hanging balls) behaves.
2. 反発係数 e を小さくして「はね返りにくい」衝突にすると、衝突後の運動量の合計は衝突前より減ると思いますか。運動エネルギーの合計はどうでしょう。If you lower e so that the balls bounce less, do you think the total momentum after the collision will be less than before? What about the total kinetic energy?💡 衝突のとき、2球がおたがいに及ぼし合う力(作用・反作用)の関係を考えましょう。Think about the forces the two balls exert on each other during the collision (action and reaction).

2動かしてみようTry it

1. ページを開くと自動で動き出すので、まず「リセット」を押す。初期値(① 球Aの質量 m₁ = 1.0 kg、② 球Aの初速度 u₁ = 3.0 m/s、③ 反発係数 e = 1.00、球B は m₂ = 1.0 kg で静止)のまま「スタート」を押し、衝突前後の表(衝突前・衝突後・理論値)と速度の矢印を見る。The simulation starts automatically when the page opens, so first press "Reset". With the defaults (① Mass of ball A m₁ = 1.0 kg, ② Ball A initial velocity u₁ = 3.0 m/s, ③ Coefficient of restitution e = 1.00; ball B has m₂ = 1.0 kg and is at rest), press "Start" and look at the table (Before, After, Theory) and the velocity arrows.
2. 「リセット」を押し、③ 反発係数 e を 0.50 にして「スタート」。v₁・v₂、運動量 Σp、運動エネルギー ΣK、「失われた運動エネルギー」を記録する。Press "Reset", set ③ Coefficient of restitution e to 0.50, and press "Start". Record v₁, v₂, Momentum Σp, Kinetic energy ΣK and the "Kinetic energy lost" value.
3. 同じように e = 0 にして衝突させ、2球が衝突後にどう動くかを観察する。In the same way, set e = 0, run the collision, and watch how the two balls move afterwards.
4. e = 1 に戻し、① 球Aの質量 m₁ を 3.0 kg と 0.5 kg にして、それぞれ衝突後の v₁・v₂ と矢印の向きを比べる。Set e back to 1 and compare v₁, v₂ and the arrow directions after the collision with ① Mass of ball A m₁ set to 3.0 kg and to 0.5 kg.

3確かめようCheck

1. 等質量(m₁ = m₂ = 1.0 kg)、e = 1 で衝突させると、衝突後の速度はどうなりましたか。With equal masses (m₁ = m₂ = 1.0 kg) and e = 1, what were the velocities after the collision?→ v₁ = 0.000 m/s、v₂ = 3.000 m/s で、球Aは止まり球Bが 3 m/s で動き出した(速度が交換された)。運動量 3.000 kg·m/s、運動エネルギー 4.500 J はどちらも変わらなかった。v₁ = 0.000 m/s and v₂ = 3.000 m/s: ball A stopped and ball B moved off at 3 m/s (the balls swapped velocities). Momentum (3.000 kg·m/s) and kinetic energy (4.500 J) both stayed the same.
2. e = 0.50 のとき、運動量の合計と運動エネルギーの合計は衝突の前後でどうなりましたか。With e = 0.50, what happened to the total momentum and total kinetic energy across the collision?→ v₁ = 0.750 m/s、v₂ = 2.250 m/s で、運動量の合計は 3.000 → 3.000 kg·m/s と保存された。運動エネルギーは 4.500 J → 2.813 J に減り、失われた量は 1.688 J(37.5 %)だった。v₁ = 0.750 m/s and v₂ = 2.250 m/s. Total momentum stayed 3.000 → 3.000 kg·m/s (conserved), while kinetic energy fell from 4.500 J to 2.813 J, a loss of 1.688 J (37.5 %).
3. e = 0 のとき、2球は衝突後どう動きましたか。With e = 0, how did the two balls move after the collision?→ 2球はくっついたまま同じ速度 1.500 m/s で一体となって進んだ(完全非弾性衝突)。運動量は 3.000 kg·m/s のままだが、運動エネルギーは 2.250 J 失われた(50.0 %)。The two balls moved together at the same velocity, 1.500 m/s (perfectly inelastic collision). Momentum stayed 3.000 kg·m/s, but 2.250 J of kinetic energy was lost (50.0 %).
4. e = 1 で m₁ = 3.0 kg と m₁ = 0.5 kg のとき、衝突後の球Aの動きはどう違いましたか。With e = 1, how did ball A move after the collision when m₁ = 3.0 kg compared with m₁ = 0.5 kg?→ m₁ = 3.0 kg では v₁ = 1.500 m/s、v₂ = 4.500 m/s で、球Aは同じ向きに進み続けた。m₁ = 0.5 kg では v₁ = −1.000 m/s、v₂ = 2.000 m/s で、球Aははね返り、矢印も左向きになった。For m₁ = 3.0 kg, v₁ = 1.500 m/s and v₂ = 4.500 m/s, so ball A kept moving forward. For m₁ = 0.5 kg, v₁ = −1.000 m/s and v₂ = 2.000 m/s, so ball A bounced back and its arrow pointed left.

4考えようThink further

1. なぜ運動量の合計は e の値にかかわらず保存されるのに、運動エネルギーは e < 1 で減るのでしょうか。失われた運動エネルギーはどこへ行ったのでしょう。Why is total momentum conserved for any e, while kinetic energy decreases when e < 1? Where does the lost kinetic energy go?→ 衝突中に2球が及ぼし合う力は作用・反作用で大きさが等しく向きが逆、はたらく時間も同じなので、力積も逆向きで等しく、運動量の合計は変わらない。一方、e < 1 では球の変形が完全には元に戻らず、運動エネルギーの一部が熱や音、変形のエネルギーに変わるため、力学的エネルギーとしては減る。During the collision the balls exert equal and opposite forces on each other (action and reaction) for the same time, so their impulses are equal and opposite and total momentum is unchanged. When e < 1, the balls' deformation does not fully spring back, and part of the kinetic energy becomes heat, sound or deformation energy, so kinetic energy decreases.
2. m₁ = 1.0 kg、u₁ = 3.0 m/s のとき、運動エネルギーの損失が最も大きくなる e はいくつでしょうか。式を使って説明しましょう。For m₁ = 1.0 kg and u₁ = 3.0 m/s, which value of e gives the largest loss of kinetic energy? Explain with the formula.→ 損失は ½·m₁m₂/(m₁+m₂)·(1−e²)(u₁−u₂)² で、(1−e²) が最大になる e = 0 のとき最大になる。このとき ½·0.5·1·9 = 2.25 J で、シミュレーションの値 2.250 J と一致する。The loss is ½·m₁m₂/(m₁+m₂)·(1−e²)(u₁−u₂)², which is largest when (1−e²) is largest, i.e. e = 0. Then it is ½·0.5·1·9 = 2.25 J, matching the 2.250 J shown in the simulation.

よくある誤解Common misconceptions

• 「はね返らない衝突(e < 1)では運動量も失われる」という誤解。外力がはたらかなければ、どんな e でも運動量の合計は保存される。"In a collision with little bounce (e < 1), momentum is also lost." Without external forces, total momentum is conserved for every value of e.
• 「運動量が保存されれば運動エネルギーも必ず保存される」という誤解。運動エネルギーが保存されるのは e = 1 の弾性衝突のときだけである。"If momentum is conserved, kinetic energy must be conserved too." Kinetic energy is conserved only in an elastic collision (e = 1).

用語（日本語 / English）Key terms (Japanese / English)